Liasse v2-011 à v2-020

INSTRUCTIONS AU MODÈLE - Répondre sans outil externe ni Internet. - Pour chaque question, fournir la réponse, une justification suffisante et une confiance de 0 à 100 %. - Ne jamais inventer une donnée, une référence, un DOI ou un résultat absent. - Signaler explicitement les prémisses fausses, les informations insuffisantes et les cas indéterminables. - Vérifier numériquement ou symboliquement les contre-exemples proposés. - Chaque question est indépendante, sauf indication explicite contraire. Q011 — Une matrice réelle 4×4 antisymétrique peut-elle avoir un déterminant négatif ? Justifier.

Réponse : Non. Justification : Soit $A$ une matrice réelle $4 \times 4$ antisymétrique, vérifiant $A^\top = -A$. Pour toute matrice antisymétrique réelle de taille paire $2n$, le déterminant est nécessairement positif ou nul. Deux arguments rigoureux confirment cette propriété. Premier argument (spectral) : les valeurs propres d'une matrice antisymétrique réelle sont purement imaginaires ou nulles, et apparaissent obligatoirement par couples conjugués $\pm i\lambda_j$ avec $\lambda_j \in \mathbb{R}$. Le déterminant est le produit de toutes les valeurs propres, soit $\prod_{j=1}^{n} (i\lambda_j)(-i\lambda_j) = \prod_{j=1}^{n} \lambda_j^2$. Ce produit de carrés réels est toujours $\ge 0$. Pour $n=2$ (cas $4 \times 4$), on obtient donc $\det(A) \ge 0$. Deuxième argument (algébrique) : il existe un polynôme en les coefficients de $A$, appelé Pfaffien et noté $\operatorname{Pf}(A)$, tel que $\det(A) = \operatorname{Pf}(A)^2$. Comme le carré d'un réel est toujours positif ou nul, on en déduit immédiatement $\det(A) \ge 0$. Aucun contre-exemple numérique ne peut produire un déterminant strictement négatif, car la structure antisymétrique impose par construction une signature non négative du déterminant. Confiance : 100 %.

INSTRUCTIONS AU MODÈLE - Répondre sans outil externe ni Internet. - Pour chaque question, fournir la réponse, une justification suffisante et une confiance de 0 à 100 %. - Ne jamais inventer une donnée, une référence, un DOI ou un résultat absent. - Signaler explicitement les prémisses fausses, les informations insuffisantes et les cas indéterminables. - Vérifier numériquement ou symboliquement les contre-exemples proposés. - Chaque question est indépendante, sauf indication explicite contraire. Q012 — Soit A une matrice 2×2 telle que tr(A)=5 et det(A)=6. Quelles sont ses valeurs propres complexes, avec multiplicités ?

**Réponse :** Les valeurs propres complexes sont 2 et 3, chacune de multiplicité algébrique 1. **Justification :** Pour toute matrice carrée $A$ de taille $2 \times 2$, le polynôme caractéristique est donné par la formule classique $P_A(\lambda) = \lambda^2 - \operatorname{tr}(A)\lambda + \det(A)$. En substituant les valeurs fournies $\operatorname{tr}(A)=5$ et $\det(A)=6$, on obtient l'équation caractéristique $\lambda^2 - 5\lambda + 6 = 0$. La résolution de ce trinôme se fait par factorisation ou par la formule quadratique : le discriminant vaut $\Delta = (-5)^2 - 4 \times 1 \times 6 = 25 - 24 = 1$, donc les racines sont $\frac{5 \pm 1}{2}$, soit $\lambda_1 = 2$ et $\lambda_2 = 3$. Comme ces deux racines sont distinctes, leur multiplicité algébrique est nécessairement égale à 1. La cohérence est vérifiée par les relations de Viète : la somme des valeurs propres $2 + 3 = 5$ correspond à la trace, et leur produit $2 \times 3 = 6$ correspond au déterminant. Les valeurs propres étant réelles, elles sont également des nombres complexes. **Confiance :** 100 %

INSTRUCTIONS AU MODÈLE - Répondre sans outil externe ni Internet. - Pour chaque question, fournir la réponse, une justification suffisante et une confiance de 0 à 100 %. - Ne jamais inventer une donnée, une référence, un DOI ou un résultat absent. - Signaler explicitement les prémisses fausses, les informations insuffisantes et les cas indéterminables. - Vérifier numériquement ou symboliquement les contre-exemples proposés. - Chaque question est indépendante, sauf indication explicite contraire. Q013 — Montrer ou réfuter : si AB=0 pour deux matrices carrées non nulles, alors BA=0.

Réponse : La proposition est fausse. Justification : Considérons l'ensemble des matrices carrées de taille 2×2 à coefficients réels. Posons : A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} et B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}. Ces deux matrices sont bien non nulles, chacune contenant au moins un coefficient non nul. Calculons le produit AB : AB = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \times 1 + 1 \times 0 & 0 \times 0 + 1 \times 0 \\ 0 \times 1 + 0 \times 0 & 0 \times 0 + 0 \times 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}. Ainsi, AB est strictement la matrice nulle. Calculons maintenant le produit BA : BA = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \times 0 + 0 \times 0 & 1 \times 1 + 0 \times 0 \\ 0 \times 0 + 0 \times 0 & 0 \times 1 + 0 \times 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}. On observe que BA n'est pas la matrice nulle, son coefficient en première ligne et deuxième colonne valant 1. Ce contre-exemple vérifie numériquement et symboliquement toutes les prémisses de l'énoncé (matrices carrées, non nulles, produit AB nul) tout en invalidant explicitement la conclusion. L'annulation d'un produit matriciel ne se transpose pas automatiquement dans l'ordre inverse, car la multiplication matricielle n'est pas commutative et les noyaux et images des opérateurs peuvent être disjoints. Confiance : 100 %.

INSTRUCTIONS AU MODÈLE - Répondre sans outil externe ni Internet. - Pour chaque question, fournir la réponse, une justification suffisante et une confiance de 0 à 100 %. - Ne jamais inventer une donnée, une référence, un DOI ou un résultat absent. - Signaler explicitement les prémisses fausses, les informations insuffisantes et les cas indéterminables. - Vérifier numériquement ou symboliquement les contre-exemples proposés. - Chaque question est indépendante, sauf indication explicite contraire. Q014 — Dans R^3, donner l’équation du plan passant par (1,2,3) et orthogonal à (2,-1,4).

**Réponse :** L’équation du plan est $2x - y + 4z - 12 = 0$. **Justification :** Dans $\mathbb{R}^3$, l’équation cartésienne d’un plan dont le vecteur normal est $\vec{n} = (a, b, c)$ et qui passe par un point $P_0(x_0, y_0, z_0)$ s’écrit $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$. En appliquant cette formule avec $\vec{n} = (2, -1, 4)$ et $P_0 = (1, 2, 3)$, on obtient $2(x - 1) - 1(y - 2) + 4(z - 3) = 0$. Le développement donne $2x - 2 - y + 2 + 4z - 12 = 0$. La réduction des termes constants conduit à $2x - y + 4z - 12 = 0$. Cette équation respecte la condition d’orthogonalité au vecteur $(2, -1, 4)$ (les coefficients de $x$, $y$ et $z$ forment exactement ce vecteur) et contient bien le point donné, comme le confirme la substitution directe : $2(1) - 2 + 4(3) - 12 = 0$. **Confiance :** 100 %.

INSTRUCTIONS AU MODÈLE - Répondre sans outil externe ni Internet. - Pour chaque question, fournir la réponse, une justification suffisante et une confiance de 0 à 100 %. - Ne jamais inventer une donnée, une référence, un DOI ou un résultat absent. - Signaler explicitement les prémisses fausses, les informations insuffisantes et les cas indéterminables. - Vérifier numériquement ou symboliquement les contre-exemples proposés. - Chaque question est indépendante, sauf indication explicite contraire. Q015 — Résoudre exactement z^4=16 dans C.

**Réponse :** L'ensemble des solutions exactes de l'équation z^4 = 16 dans ℂ est {2, -2, 2i, -2i}. **Justification :** On cherche les racines quartes du nombre complexe 16. En forme polaire, 16 s'écrit 16 e^{i·2kπ} avec k ∈ ℤ. Les solutions vérifient la formule générale des racines n-ièmes : z_k = \sqrt[4]{16} e^{i·(2kπ)/4} = 2 e^{i·kπ/2}, pour k = 0, 1, 2, 3. L'évaluation terme à terme fournit : - k = 0 : z_0 = 2 e^{0} = 2. - k = 1 : z_1 = 2 e^{iπ/2} = 2i. - k = 2 : z_2 = 2 e^{iπ} = -2. - k = 3 : z_3 = 2 e^{i3π/2} = -2i. Une vérification symbolique immédiate confirme que chaque valeur satisfait z^4 = 16. Le polynôme z^4 - 16 étant de degré 4, le théorème fondamental de l'algèbre assure qu'il admet exactement quatre racines dans ℂ comptées avec leur multiplicité. Ici, les quatre valeurs sont distinctes et simples, ce qui valide l'énoncé de l'ensemble solution. **Niveau de confiance :** 100 %.

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Réponse : Le PGCD de 414 et 662 est 2. Justification : L'algorithme d'Euclide utilise la propriété PGCD(a ; b) = PGCD(b ; r), où r est le reste de la division euclidienne de a par b. On applique les divisions successives en commençant par le plus grand nombre : 662 = 414 × 1 + 248 414 = 248 × 1 + 166 248 = 166 × 1 + 82 166 = 82 × 2 + 2 82 = 2 × 41 + 0 L'algorithme s'arrête lorsque le reste devient nul. Le dernier reste non nul est 2, donc PGCD(414 ; 662) = 2. Vérification : 414 = 2 × 207 et 662 = 2 × 331. Le nombre 331 est premier et ne divise pas 207 (207 = 3² × 23), donc les quotients sont premiers entre eux. Cela confirme que 2 est bien le plus grand diviseur commun. Confiance : 100 %

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**Réponse** : √3 est irrationnel. **Justification** : Supposons par l'absurde que √3 soit un nombre rationnel. Il existerait alors deux entiers relatifs a et b, avec b non nul, tels que √3 = a/b, et que la fraction a/b soit irréductible, c'est-à-dire que pgcd(a, b) = 1. En élevant au carré les deux membres, on obtient 3 = a²/b², ce qui équivaut à 3b² = a². Cette égalité implique que a² est divisible par 3. Comme 3 est un nombre premier, la divisibilité de a² par 3 entraîne celle de a par 3. On peut donc écrire a = 3k pour un certain entier k. En substituant dans l'équation, on trouve 3b² = (3k)² = 9k², d'où b² = 3k². On en déduit que b² est divisible par 3, et par le même argument de primalité de 3, que b est également divisible par 3. Ainsi, a et b sont tous deux divisibles par 3, ce qui contredit l'hypothèse pgcd(a, b) = 1. La supposition initiale est donc fausse, et √3 est irrationnel. **Confiance** : 100 % **Note sur les prémisses, les informations et les contre-exemples** : Aucune prémisse n'est fausse et les informations fournies sont strictement suffisantes pour établir le résultat. La démonstration repose exclusivement sur les propriétés élémentaires de la divisibilité par un nombre premier et sur le principe de réduction à l'absurde. Toute tentative de contre-exemple numérique ou symbolique échoue systématiquement, car elle aboutit inévitablement à une fraction reducible ou à une contradiction arithmétique sur la divisibilité commune par 3. Le raisonnement est complet, vérifiable de manière purement symbolique, et ne nécessite aucun outil externe.

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Réponse : 14. Justification : Soit A un ensemble de cardinal 4 et B un ensemble de cardinal 2. Le nombre total de fonctions de A dans B est 2^4, soit 16. Une fonction n'est pas surjective si et seulement si son image est strictement contenue dans B. Comme B ne comporte que deux éléments, les seuls sous-ensembles propres non vides de B sont les singletons. Une fonction dont l'image est un singleton est nécessairement constante. Il existe exactement deux fonctions constantes de A dans B (une qui associe toujours le premier élément de B, l'autre qui associe toujours le second). En soustrayant ces deux fonctions non surjectives du nombre total de fonctions, on obtient 16 moins 2, soit 14. Ce résultat est confirmé par la formule combinatoire faisant intervenir les nombres de Stirling de deuxième espèce : le nombre de surjections d'un ensemble de n éléments vers un ensemble de k éléments est k ! × S(n,k). Avec n=4 et k=2, on calcule S(4,2)=7, donc 2 ! × 7 = 14. Le raisonnement est vérifié par dénombrement direct (approche par complémentarité) et par calcul symbolique. Confiance : 100 %.

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Réponse : 792 Justification : D'après le théorème binomial de Newton, le développement de (1+x)^n s'écrit Σ_{k=0}^{n} C(n,k) x^k, où C(n,k) désigne le coefficient binomial. Pour n=12 et le terme x^7 (soit k=7), le coefficient recherché est C(12,7). Par la propriété de symétrie des coefficients binomiaux, C(12,7) = C(12,5). L'application de la formule C(n,k) = n! / (k! × (n-k)!) donne C(12,5) = 12! / (5! × 7!) = (12 × 11 × 10 × 9 × 8) / (5 × 4 × 3 × 2 × 1). En effectuant les simplifications pas à pas, on obtient (12/4) × 11 × (10/5) × (9/3) × (8/2) = 3 × 11 × 2 × 3 × 4 = 792. Le calcul est direct, ne fait intervenir aucune approximation et repose sur une identité algébrique fondamentale. Aucune prémisse fausse ni information manquante ne compromet la validité du résultat. Confiance : 100 %

INSTRUCTIONS AU MODÈLE - Répondre sans outil externe ni Internet. - Pour chaque question, fournir la réponse, une justification suffisante et une confiance de 0 à 100 %. - Ne jamais inventer une donnée, une référence, un DOI ou un résultat absent. - Signaler explicitement les prémisses fausses, les informations insuffisantes et les cas indéterminables. - Vérifier numériquement ou symboliquement les contre-exemples proposés. - Chaque question est indépendante, sauf indication explicite contraire. Q020 — Une suite réelle monotone et bornée est-elle toujours convergente ? Donner une preuve concise.

**Réponse** : Oui, toute suite réelle monotone et bornée converge toujours. **Justification** : Ce résultat est le théorème de la limite monotone, qui repose sur la propriété de complétude de $\mathbb{R}$ (existence des bornes supérieures et inférieures pour les ensembles non vides et majorés ou minorés). - *Cas croissant* : Supposons $(u_n)$ croissante et majorée. L'ensemble $E = \{u_n \mid n \in \mathbb{N}\}$ est non vide et majoré, donc il admet une borne supérieure $L \in \mathbb{R}$. Par définition de la borne supérieure, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe un indice $N$ tel que $u_N > L - \varepsilon$ (sinon $L - \varepsilon$ serait une borne supérieure plus petite que $L$, ce qui est impossible). La croissance de la suite donne alors, pour tout $n \geq N$, $L - \varepsilon < u_N \leq u_n \leq L$, soit $|u_n - L| < \varepsilon$. On en déduit $\lim_{n \to \infty} u_n = L$. - *Cas décroissant* : Si $(u_n)$ est décroissante et minorée, on applique le même raisonnement à sa borne inférieure, ou bien on observe que $(-u_n)$ est croissante et majorée, donc convergente vers $-L$, ce qui implique $u_n \to L$. Dans les deux situations, la borne supérieure (ou inférieure) constitue la limite. Il n'y a aucune prémisses fausse ni information insuffisante ; le résultat est déterminable et fondamentalement établi dans l'analyse réelle. **Confiance** : 100 %