Section IV — Probabilités, statistiques et combinatoire

Données : n = 10 lancers, p = 1/2 (probabilité d'obtenir une face), k = 6 faces recherchées. Modèle : Loi binomiale B(n, p). Formule : P(X = k) = C(n, k) x p^k x (1 - p)^(n - k) Étape 1 : Calcul du coefficient binomial C(10, 6) = 10! / (6! x 4!) = 210. Étape 2 : Calcul de la probabilité d'une séquence spécifique : (1/2)^6 x (1/2)^4 = (1/2)^10 = 1 / 1024. Étape 3 : Application de la formule : 210 x (1 / 1024) = 210 / 1024. Simplification : en divisant le numérateur et le dénominateur par leur PGCD (2), on obtient la fraction irréductible 105 / 512. Vérification : 105 x 2 = 210 et 512 x 2 = 1024. Le calcul est cohérent. Valeur décimale exacte : 105 / 512 = 0,205078125. Résultat final : 105 / 512 (soit environ 20,5 %). Hypothèses : La pièce est parfaitement équilibrée (p = 1/2) et chaque lancer est statistiquement indépendant des autres. Aucun biais physique, mécanique ou environnemental n'est présent.

Données - Deux dés équilibrés à 6 faces. - Issues équiprobables pour un lancer de deux dés : 6 x 6 = 36. - Événement conditionnel B : la somme des deux dés vaut 8. - Événement cible A : au moins un des dés montre 3. Raisonnement 1. Liste des issues réalisant B (somme = 8) : (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2). Nombre total d'issues pour B : 5. P(B) = 5/36. 2. Liste des issues réalisant A ∩ B (somme = 8 ET présence d'un 3) : Parmi les 5 issues ci-dessus, celles contenant le chiffre 3 sont : (3,5) et (5,3). Nombre d'issues pour A ∩ B : 2. P(A ∩ B) = 2/36. 3. Application de la formule de probabilité conditionnelle : P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B) P(A|B) = (2/36) / (5/36) = 2/5. Résultat final - Probabilité exacte : 2/5 - Valeur décimale : 0,4 - Pourcentage : 40 % Hypothèses - Les dés sont parfaitement équilibrés et indépendants (indiqué dans l'énoncé). - L'ordre des dés est distingué (standard en probabilités discrètes), ce qui justifie le comptage de (3,5) et (5,3) comme deux issues distinctes. Si l'ordre était indifférent, le dénominateur serait 3 issues ({(2,6), (3,5), (4,4)}), mais la probabilité conditionnelle resterait identique (1 issue sur 3 issues équiprobables pondérées par leur multiplicité). Le résultat 2/5 est donc robuste.

Données : 5R, 4B, 3G. Total = 12 boules. Tirage de 4 boules sans remise. Raisonnement chiffre : 1. Dénombrement total des tirages possibles (combinaisons de 4 parmi 12) : C(12, 4) = 12! / (4! x 8!) = 495. 2. Condition : obtenir exactement deux couleurs. Les 4 boules doivent provenir d'une seule paire de couleurs parmi les 3 possibles : (Rouge, Bleu), (Rouge, Vert), (Bleu, Vert). Les événements sont disjoints car un tirage ne peut appartenir qu'à une seule paire de couleurs. Pour chaque paire, on calcule les tirages contenant au moins 1 boule de chaque couleur en soustrayant les cas à 1 couleur seule. - Paire (Rouge, Bleu) : C(5+4, 4) - C(5, 4) - C(4, 4) = C(9, 4) - 5 - 1 = 126 - 6 = 120. Vérification par répartition : (3R,1B) + (2R,2B) + (1R,3B) = C(5,3)C(4,1) + C(5,2)C(4,2) + C(5,1)C(4,3) = 10x4 + 10x6 + 5x4 = 40 + 60 + 20 = 120. - Paire (Rouge, Vert) : C(5+3, 4) - C(5, 4) - C(3, 4) = C(8, 4) - 5 - 0 = 70 - 5 = 65. Vérification par répartition : (3R,1G) + (2R,2G) + (1R,3G) = C(5,3)C(3,1) + C(5,2)C(3,2) + C(5,1)C(3,3) = 10x3 + 10x3 + 5x1 = 30 + 30 + 5 = 65. - Paire (Bleu, Vert) : C(4+3, 4) - C(4, 4) - C(3, 4) = C(7, 4) - 1 - 0 = 35 - 1 = 34. Vérification par répartition : (3B,1G) + (2B,2G) + (1B,3G) = C(4,3)C(3,1) + C(4,2)C(3,2) + C(4,1)C(3,3) = 4x3 + 6x3 + 4x1 = 12 + 18 + 4 = 34. 3. Total des tirages favorables : 120 + 65 + 34 = 219. 4. Probabilité : P = 219 / 495. Simplification par 3 : 219/3 = 73 et 495/3 = 165. P = 73/165. Résultat final : 73/165 (~0,4424 ou ~44,24 %). Hypothèses : tirage aléatoire uniforme, sans remise, urne parfaitement mélangée, boules indiscernables sauf par couleur.

Données : n = 7, m = 3 Formule du principe d'inclusion-exclusion pour le nombre de surjections : N = somme de k=0 à m de (-1)^k x C(m,k) x (m-k)^n Calcul étape par étape : 1. k = 0 : C(3,0) x 3^7 = 1 x 2187 = 2187 2. k = 1 : C(3,1) x 2^7 = 3 x 128 = 384 3. k = 2 : C(3,2) x 1^7 = 3 x 1 = 3 4. k = 3 : C(3,3) x 0^7 = 1 x 0 = 0 Application numérique : N = 2187 - 384 + 3 - 0 = 1806 Vérification avec le laboratoire Python : from math import comb n = 7 m = 3 resultat = sum((-1)**k * comb(m, k) * (m - k)**n for k in range(m + 1)) print(resultat) Sortie : 1806 Résultat exact : 1806.

Données : n = 20, p = 0,3 Vérification par code Python : n = 20 p = 0.3 esp = n * p var = n * p * (1 - p) print(esp, var) Sortie : 6.0 4.2 Raisonnement : Pour une variable aléatoire suivant une loi binomiale B(n, p) : - Espérance : E(X) = n × p - Variance : V(X) = n × p × (1 - p) Application numérique : - E(X) = 20 × 0,3 = 6 - V(X) = 20 × 0,3 × 0,7 = 4,2 Résultat final : Espérance = 6 Variance = 4,2

Données : - P(M) = 0,01 - P(T+ | M) = 0,99 - P(T+ | ¬M) = 1 - 0,95 = 0,05 - P(¬M) = 1 - 0,01 = 0,99 Calcul de P(T+) : P(T+) = P(T+ | M) × P(M) + P(T+ | ¬M) × P(¬M) P(T+) = (0,99 × 0,01) + (0,05 × 0,99) P(T+) = 0,0099 + 0,0495 = 0,0594 Calcul de P(M | T+) : P(M | T+) = [P(T+ | M) × P(M)] / P(T+) P(M | T+) = 0,0099 / 0,0594 Résultat : Valeur exacte : 1/6 Valeur décimale : ~0,1667 Pourcentage : ~16,7 % Hypothèses : les paramètres (sensibilité, spécificité, prévalence) sont exacts et indépendants. La population testée respecte strictement la prévalence de 1 %. Aucun biais de sélection ni de vérification n'est supposé.

Données : ensemble de taille n = 8, recherche du nombre de permutations sans point fixe (dérangements). Raisonnement : Le nombre de dérangements D_n se calcule par la formule d'inclusion-exclusion : D_n = n! * Σ_{k=0}^n (-1)^k / k! . En développant pour n = 8, chaque terme devient un entier car 8! est divisible par k! pour tout k ≤ 8. Calcul étape par étape : 8! = 40320 k = 0 : +40320 / 1 = 40320 k = 1 : -40320 / 1 = -40320 k = 2 : +40320 / 2 = +20160 k = 3 : -40320 / 6 = -6720 k = 4 : +40320 / 24 = +1680 k = 5 : -40320 / 120 = -336 k = 6 : +40320 / 720 = +56 k = 7 : -40320 / 5040 = -8 k = 8 : +40320 / 40320 = +1 Somme exacte : 40320 - 40320 + 20160 - 6720 + 1680 - 336 + 56 - 8 + 1 = 14833. Résultat : 14833 permutations sans point fixe. Hypothèses : Aucune. Le calcul repose sur une formule combinatoire exacte et la somme est vérifiée par substitution. La valeur coïncide également avec round(8! / e) = round(40320 / 2,71828...) = 14833, ce qui confirme le résultat.

Données : - Ensemble de référence : {1, 2, ..., 1000} → N = 1000 - A = ensemble des entiers divisibles par 3 - B = ensemble des entiers divisibles par 5 - Condition recherchée : A XOR B (divisible par 3 ou 5, mais pas les deux) Raisonnement chiffré : - |A| = floor(1000 / 3) = 333 - |B| = floor(1000 / 5) = 200 - |A ∩ B| = divisibles par lcm(3, 5) = 15 → floor(1000 / 15) = 66 - Divisibles par 3 uniquement : |A| - |A ∩ B| = 333 - 66 = 267 - Divisibles par 5 uniquement : |B| - |A ∩ B| = 200 - 66 = 134 - Nombre de cas favorables : 267 + 134 = 401 - Probabilité : 401 / 1000 = 0.401 Code Python et sortie : ```python N = 1000 div3 = N // 3 div5 = N // 5 div15 = N // 15 favorable = (div3 - div15) + (div5 - div15) prob = favorable / N print(f"favorable={favorable}, prob={prob}") ``` Sortie : `favorable=401, prob=0.401` Résultat final : La probabilité exacte est 401/1000, soit 0.401 (40.1 %). Hypothèse : la distribution est strictement uniforme sur l'intervalle discret {1, 2, ..., 1000}.

Données : - Point de départ : (0,0) - Point d'arrivée : (8,6) - Point à éviter : (4,3) - Mouvements autorisés : uniquement vers la droite (x+1) et vers le haut (y+1) Principe : nombre de chemins monotonestotaux moins le nombre de chemins passant obligatoirement par (4,3). Étape 1 : Chemins totaux de (0,0) à (8,6) Un chemin monotone nécessite exactement 8 déplacements en x et 6 en y, soit 14 pas au total. Formule : C(n+k, n) où n=8, k=6. C(14, 6) = 3003 Étape 2 : Chemins passant par (4,3) Un chemin passant par (4,3) se décompose en deux segments indépendants : - Segment 1 : de (0,0) à (4,3). Déplacements : 4 en x, 3 en y. Total 7 pas. C(7, 4) = 35 - Segment 2 : de (4,3) à (8,6). Déplacements : (8-4)=4 en x, (6-3)=3 en y. Total 7 pas. C(7, 4) = 35 Nombre de chemins passant par (4,3) = 35 x 35 = 1225 Étape 3 : Soustraction (principe du complémentaire) 3003 - 1225 = 1778 Vérification par code : ```python import math total = math.comb(14, 6) via = math.comb(7, 4) * math.comb(7, 4) resultat = total - via print(f"{total=}, {via=}, {resultat=}") ``` Sortie : total=3003, via=1225, resultat=1778 Résultat : 1778 chemins monotones.

Données : Variable X de loi exponentielle. Moyenne E[X] = 5. Paramètre λ = 1/E[X] = 1/5 = 0,2. Raisonnement chiffre : La fonction de survie d'une loi exponentielle est P(X > x) = e^(-λx). Par définition de la probabilité conditionnelle : P(X > 10 | X > 4) = P(X > 10 et X > 4) / P(X > 4) = P(X > 10) / P(X > 4) Substitution de la fonction de survie : = e^(-λ×10) / e^(-λ×4) = e^(-λ×(10-4)) = e^(-6λ) Cette simplification correspond à la propriété sans mémoire de la loi exponentielle : P(X > s+t | X > s) = P(X > t). Ici s=4 et t=6. Calcul : λ = 1/5 -6λ = -6/5 = -1,2 Application via le laboratoire scientifique : exp(-1,2) = 0,30119421191220214 Valeur exacte : e^(-6/5) Valeur approchée : ~ 0,3011942119 Résultat final : P(X > 10 | X > 4) = e^(-1,2) ≈ 0,3012 Hypothèses : X suit strictement une loi exponentielle continue de paramètre constant. Aucun arrondi intermédiaire n'a été utilisé. La propriété sans mémoire s'applique uniquement à cette distribution. La valeur exacte est e^(-6/5).

Proposition fausse. La non-corrélation ne implique pas l'indépendance. **Contre-exemple rigoureux** Soit la variable aléatoire discrète $(X, Y)$ dont la loi conjointe est : | $(x, y)$ | $(-1, 0)$ | $(0, 1)$ | $(1, 0)$ | | $P(X=x, Y=y)$ | $1/3$ | $1/3$ | $1/3$ | *Étape 1 : Vérifier la non-corrélation* - $E[X] = (-1) \times 1/3 + 0 \times 1/3 + 1 \times 1/3 = 0$ - $E[Y] = 0 \times 1/3 + 1 \times 1/3 + 0 \times 1/3 = 1/3$ - $E[XY] = (-1)(0) \times 1/3 + (0)(1) \times 1/3 + (1)(0) \times 1/3 = 0$ - $\text{Cov}(X, Y) = E[XY] - E[X]E[Y] = 0 - 0 \times 1/3 = 0$ Les variables sont bien non corrélées (covariance nulle, coefficient de Pearson nul). *Étape 2 : Vérifier la dépendance* L'indépendance exige $P(X=x, Y=y) = P(X=x)P(Y=y)$ pour tout couple. - $P(X=0) = 1/3$ - $P(Y=0) = P(X=-1, Y=0) + P(X=1, Y=0) = 1/3 + 1/3 = 2/3$ - $P(X=0, Y=0) = 0$ (aucune issue dans la table ne réalise ce couple) Or, $P(X=0)P(Y=0) = 1/3 \times 2/3 = 2/9$. Puisque $0 \neq 2/9$, la factorisation des probabilités est violée. $X$ et $Y$ sont donc dépendantes. **Explication théorique** L'indépendance implique toujours la non-corrélation (lorsque les variances sont finies), car $E[XY] = E[X]E[Y]$ découle directement de la factorisation de la loi conjointe. La réciproque est fausse en général : la covariance ne capture que les dépendances linéaires. Des structures non linéaires (paraboliques, cycliques, symétriques) peuvent exister sans se traduire par une corrélation. **Cas particulier** L'affirmation devient vraie uniquement sous des hypothèses fortes : si $(X, Y)$ suit une loi normale bivariée, la nullité de la covariance entraîne l'indépendance. Ce résultat repose sur la forme analytique spécifique de la densité jointe gaussienne et ne s'étend pas aux distributions générales. Conclusion : la proposition est réfutée. La non-corrélation est une condition nécessaire mais non suffisante de l'indépendance.

Données : - Taille de l'ensemble : n = 6 - Nombre de cycles requis : k = 2 - Ensemble de référence : toutes les permutations de 6 éléments, soit 6! = 720 cas équiprobables. Méthode : Le nombre de permutations de n éléments possédant exactement k cycles correspond au nombre de Stirling du premier genre non signé, noté C(n, k) ou [n \atop k]. La récurrence standard est : C(n, k) = C(n-1, k-1) + (n-1) × C(n-1, k). Vérification numérique par calcul : ```python import math from fractions import Fraction def stirling1_unsigned(n, k): dp = [[0] * (k + 1) for _ in range(n + 1)] dp[0][0] = 1 for i in range(1, n + 1): for j in range(1, min(i, k) + 1): dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + (i - 1) * dp[i - 1][j] return dp[n][k] n, k = 6, 2 nb = stirling1_unsigned(n, k) total = math.factorial(n) print(f"Nombre de permutations avec exactement {k} cycles : {nb}") print(f"Nombre total de permutations : {total}") print(f"Fraction exacte : {nb}/{total}") print(f"Fraction simplifiée : {Fraction(nb, total)}") print(f"Valeur décimale : {float(Fraction(nb, total))}") ``` Sortie du laboratoire : Nombre de permutations avec exactement 2 cycles : 274 Nombre total de permutations : 720 Fraction exacte : 274/720 Fraction simplifiée : 137/360 Valeur décimale : 0.38055555555555554 Calcul détaillé : P = (nombre de cas favorables) / (nombre total de cas) P = 274 / 720 Simplification par 2 : 274 ÷ 2 = 137, 720 ÷ 2 = 360 P = 137/360 ≈ 0,380556 Résultat : La probabilité est exactement 137/360, soit environ 38,06 %. Hypothèses : - La permutation est tirée uniformément au hasard parmi les 720 permutations possibles. - L'ordre des éléments à l'intérieur d'un cycle et l'ordre des cycles entre eux n'ont pas d'impact (convention standard de la combinatoire des permutations). - Aucun autre paramètre structurel n'est imposé sur la répartition des longueurs de cycles.

Données - Taille du jeu : 52 cartes - Nombre d'As : 4 - Nombre de cartes non-As : 48 - Procédé : tirage sans remise jusqu'à l'apparition du premier As inclus Raisonnement Méthode par symétrie des intervalles (gaps) : Les 4 As, placés aléatoirement dans le jeu, découpent les 48 cartes non-As en 5 intervalles distincts : 1. Avant le 1er As 2. Entre le 1er et le 2e As 3. Entre le 2e et le 3e As 4. Entre le 3e et le 4e As 5. Après le 4e As Par symétrie, chaque intervalle a la même espérance de nombre de cartes non-As. L'espérance totale des cartes non-As est 48, répartie uniformément sur 5 intervalles. Le nombre de cartes tirées X correspond au nombre de cartes non-As situées avant le premier As, plus l'As lui-même (tiré en dernier). Calcul Espérance des non-As par intervalle = 48 / 5 = 9.6 E[X] = (non-As avant le 1er As) + 1 E[X] = 48/5 + 1 E[X] = 48/5 + 5/5 = 53/5 Vérification par somme des probabilités (E[X] = Σ_{k=0}^{48} P(X > k)) : P(X > k) = probabilité que les k premières cartes soient toutes non-As = C(48, k) / C(52, k) E[X] = Σ_{k=0}^{48} C(48, k) / C(52, k) Identité combinatoire : Σ_{k=0}^{n} C(n, k) / C(n+m, k) = (n+m+1) / (m+1) Avec n=48 et m=4 : E[X] = (48+4+1) / (4+1) = 53/5 Résultat exact 53/5 Valeur décimale 10.6 Hypothèses - Jeu standard de 52 cartes parfaitement mélangé (distribution uniforme) - Tirage sans remise - Le tirage s'arrête strictement au moment de la révélation du premier As (l'As compte comme une carte tirée) - Aucun biais de mélangage ou de manipulation

Données : équation x_1+x_2+x_3+x_4=20 avec x_i entiers naturels et x_i <= 8. Raisonnement (principe d'inclusion-exclusion) : 1) Nombre total de solutions entières non négatives sans contrainte de borne supérieure : C(20+4-1, 4-1) = C(23, 3) = 23*22*21/(3*2*1) = 1771. 2) On retire les solutions où au moins une variable vérifie x_i >= 9. Pour une variable fixée, on pose y_i = x_i - 9 >= 0. L'équation devient y_i + somme(x_j) = 20 - 9 = 11. Le nombre de solutions est C(11+4-1, 3) = C(14, 3) = 14*13*12/(3*2*1) = 364. Il y a C(4, 1) = 4 variables, donc on retire 4 * 364 = 1456. 3) On ajoute les solutions où au moins deux variables vérifient x_i >= 9. La somme restante est 20 - 9 - 9 = 2. Le nombre de solutions est C(2+4-1, 3) = C(5, 3) = 10. Il y a C(4, 2) = 6 paires, donc on ajoute 6 * 10 = 60. 4) Trois variables >= 9 impliquerait une somme restante de 20 - 27 = -7, soit 0 solution. Les intersections triples et quadruples sont nulles. Calcul : 1771 - 1456 + 60 = 375. Vérification par énumération exhaustive (code Python et sortie) : ```python import math from itertools import product pie = math.comb(23, 3) - 4 * math.comb(14, 3) + 6 * math.comb(5, 3) brute = sum(1 for x in product(range(9), repeat=4) if sum(x) == 20) print(f"PIE: {pie}, Brute: {brute}") ``` Sortie : PIE: 375, Brute: 375 Résultat final : 375.

On a X ~ N(0,1). La probabilité demandée s'écrit : P(|X| <= 1.96) = P(-1.96 <= X <= 1.96). En utilisant la fonction de répartition standard notée Phi, on obtient : P(-1.96 <= X <= 1.96) = Phi(1.96) - Phi(-1.96). Par symétrie de la loi normale centrée réduite, Phi(-x) = 1 - Phi(x). Ainsi : Phi(1.96) - (1 - Phi(1.96)) = 2*Phi(1.96) - 1. Vérification numérique avec le laboratoire scientifique : ```python from scipy.stats import norm phi_196 = norm.cdf(1.96) prob = 2 * phi_196 - 1 print(f"Phi(1.96) = {phi_196:.10f}") print(f"P(|X|<=1.96) = {prob:.10f}") ``` Sortie : Phi(1.96) = 0.9750021049 P(|X|<=1.96) = 0.9500042097 L'approximation usuelle retenue en statistique est donc : P(|X| <= 1.96) ≈ 0.95 (soit 95 %).

Hypothèses de modélisation initiales Les trois prisonniers sont A, B, C. Deux seront libérés, un restera. Les états possibles de libération sont {A,B}, {A,C}, {B,C}. Par défaut, on suppose une distribution a priori uniforme : P({A,B}) = P({A,C}) = P({B,C}) = 1/3. La probabilité initiale de libération de A est donc P(A libéré) = P({A,B} ou {A,C}) = 2/3. Stratégie du gardien et paramètre p Le gardien ne peut nommer que B ou C. La réponse dépend de l'état réel et de la règle d'arbitrage du gardien. On introduit le paramètre p ∈ [0,1] : - Si l'état est {A,B}, B est libéré et C ne l'est pas. Le gardien est obligé de nommer B. P(Gardien=B | {A,B}) = 1. - Si l'état est {A,C}, B ne l'est pas. Le gardien ne peut pas nommer B. P(Gardien=B | {A,C}) = 0. - Si l'état est {B,C}, les deux sont libérés. Le gardien choisit entre B et C selon sa stratégie. On note p la probabilité qu'il nomme B dans ce cas. P(Gardien=B | {B,C}) = p. Calcul rigoureux de la probabilité conditionnelle On cherche P(A libéré | Gardien=B). Cela revient à P({A,B} | Gardien=B), car l'état {A,C} exclut la réponse B. Par la formule de Bayes / probabilité conditionnelle : P(Gardien=B) = P({A,B})×1 + P({A,C})×0 + P({B,C})×p P(Gardien=B) = 1/3 × 1 + 1/3 × 0 + 1/3 × p = (1+p)/3 P({A,B} | Gardien=B) = [P(Gardien=B | {A,B}) × P({A,B})] / P(Gardien=B) P({A,B} | Gardien=B) = [1 × 1/3] / [(1+p)/3] = 1/(1+p) Vérification par outil Python : ```python from sympy import symbols, Rational, simplify p = symbols('p') P_A_given_GB = (Rational(1,3)) / (Rational(1,3) + p/3) print(simplify(P_A_given_GB)) print(P_A_given_GB.subs(p, Rational(1,2))) ``` Résultat : 1/(p + 1). Pour p = 1/2, la valeur est 2/3. Analyse des cas selon la stratégie du gardien - Cas 1 : Stratégie impartiale (p = 1/2). Le gardien choisit au hasard entre B et C quand les deux sont libres. P(A libéré | Gardien=B) = 1/(1 + 1/2) = 2/3. La probabilité de A ne change pas. Elle reste 2/3. La probabilité que C soit libéré passe de 1/3 à 1/3, ce qui peut sembler contre-intuitif mais est mathématiquement cohérent : l'information "B est libéré" élimine l'état {A,C}, mais comme le gardien aurait pu dire B ou C dans l'état {B,C} avec la même probabilité, la masse de probabilité restante se répartit équitablement entre {A,B} et {B,C} dans les proportions initiales relatives. - Cas 2 : Stratégie biaisée ou fixe (p ≠ 1/2). Par exemple, p = 1 (le gardien nomme toujours B s'il peut). P(A libéré | Gardien=B) = 1/(1+1) = 1/2. La probabilité diminue de 2/3 à 1/2. L'information "B est libéré" devient plus probable si B est le seul libre (état {A,B}) que si les deux sont libres (état {B,C}), ce qui favorise l'état {A,B} et réduit la probabilité relative de A par rapport au cas impartial. - Cas 3 : Stratégie anti-B (p = 0, le gardien nomme toujours C s'il peut). La réponse B est alors impossible dans l'état {B,C}. Si on observe B, l'état ne peut être que {A,B}. P(A libéré | Gardien=B) = 1. La probabilité augmente de 2/3 à 1. Conclusion La probabilité de libération de A change si et seulement si la stratégie du gardien n'est pas impartiale (p ≠ 1/2). Sous l'hypothèse standard de choix aléatoire du gardien quand B et C sont tous deux libres (p = 1/2), la probabilité reste strictement 2/3. Toute déviation par rapport à cette impartialité modifie la probabilité conditionnelle selon la formule exacte 1/(1+p), où p est la probabilité que le gardien nomme B lorsque les deux sont libres. L'analyse repose exclusivement sur la règle de sélection du gardien et sur l'application rigoureuse des probabilités conditionnelles.

Données : Matrice P = [[0.8, 0.2], [0.3, 0.7]], vecteur ligne pi = (pi1, pi2) tel que pi x P = pi et pi1 + pi2 = 1. Raisonnement : L'équation pi x P = pi se décompose en : pi1 = 0.8 x pi1 + 0.3 x pi2 pi2 = 0.2 x pi1 + 0.7 x pi2 En utilisant la contrainte de normalisation pi2 = 1 - pi1, on substitue dans la première équation : pi1 = 0.8 x pi1 + 0.3 x (1 - pi1) pi1 = 0.8 x pi1 + 0.3 - 0.3 x pi1 pi1 - 0.5 x pi1 = 0.3 0.5 x pi1 = 0.3 pi1 = 0.3 / 0.5 = 3/5 = 0.6 On en déduit pi2 : pi2 = 1 - 0.6 = 0.4 Vérification : pi x P = (0.6, 0.4) x [[0.8, 0.2], [0.3, 0.7]] = (0.6 x 0.8 + 0.4 x 0.3, 0.6 x 0.2 + 0.4 x 0.7) = (0.48 + 0.12, 0.12 + 0.28) = (0.6, 0.4) = pi. Le calcul est confirmé. Résultat : La distribution stationnaire est pi = (0.6 ; 0.4) soit sous forme exacte pi = (3/5 ; 2/5).

Données : variable aléatoire X avec Var(X) > 0, paramètres a != 0 et b. On cherche rho(X, aX+b). Formule : rho(X, aX+b) = Cov(X, aX+b) / racine(Var(X) x Var(aX+b)). Etape 1 : Variance de aX+b. Var(aX+b) = a^2 x Var(X). Etape 2 : Covariance. Cov(X, aX+b) = Cov(X, aX) + Cov(X, b) = a x Cov(X, X) + 0 = a x Var(X). Etape 3 : Substitution. rho(X, aX+b) = (a x Var(X)) / racine(Var(X) x a^2 x Var(X)) = (a x Var(X)) / racine(a^2 x (Var(X))^2). Etape 4 : Simplification. racine(a^2 x (Var(X))^2) = |a| x Var(X) (car Var(X) > 0). rho(X, aX+b) = (a x Var(X)) / (|a| x Var(X)) = a / |a|. Résultat : a / |a|, soit 1 si a > 0 et -1 si a < 0. Vérification : Si a > 0, la transformation est strictement croissante, la corrélation linéaire est maximale (1). Si a < 0, la transformation est strictement décroissante, la corrélation est minimale (-1). Le résultat est cohérent. Hypothèses : Var(X) > 0 assure que la variance est non nulle et que la division est valide. a != 0 assure que le rapport a / |a| est bien défini. Le résultat est indépendant de b et de la valeur exacte de Var(X).

Pour déterminer le nombre de mots distincts (permutations) que l'on peut former avec les lettres de « MATHEMATIQUE », on utilise la formule des permutations avec répétition. **1. Analyse des lettres** Le mot « MATHEMATIQUE » contient 12 lettres au total. Voici le décompte de chaque lettre : * **M** : 2 * **A** : 2 * **T** : 2 * **E** : 2 * **H** : 1 * **I** : 1 * **Q** : 1 * **U** : 1 Vérification du total : $2 + 2 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 = 12$. **2. Calcul des permutations** La formule est $P = \frac{n!}{n_1! \times n_2! \times \dots \times n_k!}$, où $n$ est le nombre total de lettres et $n_i$ sont les fréquences des lettres répétées. * $n = 12$ * Les lettres répétées sont M, A, T et E, chacune avec une fréquence de 2. $$P = \frac{12!}{2! \times 2! \times 2! \times 2!}$$ $$P = \frac{479\,001\,600}{2 \times 2 \times 2 \times 2}$$ $$P = \frac{479\,001\,600}{16}$$ $$P = 29\,937\,600$$ On peut former **29 937 600** mots distincts avec les lettres de « MATHEMATIQUE ». 🔏 Sceau AXIOM : reponse scellee au journal probatoire, certification non atteinte (0 source pour environ 7 affirmations), verifiez les points non sources.

Le plus petit entier n est 6. Données : graphe complet K_n, coloriage des arêtes en rouge ou bleu. Objectif : déterminer la valeur minimale de n imposant l'existence d'un triangle monochromatique. Raisonnement : 1) Cas n = 6 : on démontre que toute coloriation engendre un triangle monochromatique. On sélectionne un sommet arbitraire v. Il est relié à 5 sommets distincts. Par le principe des tiroirs, au moins 3 de ces arêtes portent la même couleur, supposons rouge. Soient a, b, c les extrémités de ces arêtes. On observe le triangle formé par a, b, c. Si l'une des arêtes ab, bc ou ac est rouge, alors v avec les deux sommets concernés forme un triangle rouge. Si aucune de ces arêtes n'est rouge, elles sont nécessairement bleues, ce qui constitue un triangle bleu abc. La conclusion est systématique : un triangle monochromatique apparaît toujours dans K_6. 2) Cas n = 5 : on exhibe un coloriage sans triangle monochromatique. On identifie les sommets par les entiers 0, 1, 2, 3, 4. On colore en rouge les arêtes reliant i à i+1 modulo 5, soit (0,1), (1,2), (2,3), (3,4), (4,0). Cette configuration forme un cycle de longueur 5, dépourvu de triangle. On colore en bleu les arêtes restantes, reliant i à i+2 modulo 5, soit (0,2), (2,4), (4,1), (1,3), (3,0). Elles forment également un cycle de longueur 5, sans triangle. Pour n = 5, il existe donc une coloriation valide sans triangle monochromatique. Résultat : La valeur minimale est n = 6. Ce théorème correspond au nombre de Ramsey R(3, 3) = 6. Aucune hypothèse supplémentaire n'est requise.

Données et hypothèses : Lancers indépendants, probabilité de succès p, probabilité d'échec 1-p. On cherche l'espérance E du nombre total de lancers jusqu'à l'obtention de deux succès consécutifs. Mise en équation : On définit deux états intermédiaires selon le nombre actuel de succès consécutifs accumulés. - E : espérance restante depuis l'état initial (0 succès consécutif). - E1 : espérance restante depuis l'état avec 1 succès consécutif. À chaque lancer, on compte +1 dans le décompte. Les transitions probabilistes sont : Depuis l'état initial : avec probabilité p on passe à l'état 1, avec probabilité 1-p on reste à l'état 0. E = 1 + p x E1 + (1-p) x E Depuis l'état 1 : avec probabilité p on atteint l'objectif (0 lancer supplémentaire), avec probabilité 1-p on repart à l'état 0. E1 = 1 + p x 0 + (1-p) x E = 1 + (1-p) x E Résolution algébrique : On isole E dans la première équation : E - (1-p) x E = 1 + p x E1 p x E = 1 + p x E1 E = 1/p + E1 On substitue E1 dans cette expression : E = 1/p + 1 + (1-p) x E On regroupe les termes en E : E - (1-p) x E = 1/p + 1 p x E = 1/p + 1 On divise par p (en supposant p > 0) : E = (1/p + 1) / p E = 1/p^2 + 1/p E = (1 + p) / p^2 Vérification : Pour p = 0,5 : E = (1 + 0,5) / 0,5^2 = 1,5 / 0,25 = 6. Ce résultat correspond à la valeur classique connue pour une pièce équilibrée. Pour p tendant vers 1 : E tend vers (1 + 1) / 1 = 2. Cohérent car il faut exactement 2 lancers. Pour p tendant vers 0 : E ~ 1/p^2. Comportement asymptotique attendu. Résultat final : L'espérance du nombre de lancers nécessaires est (1 + p) / p^2.

Données : - Moyenne $\mu = 100$ - Écart-type $\sigma = 15$ - Intervalle cible : entre 70 et 130 Étape 1 : Calcul du nombre d'écarts-types $k$ séparant la moyenne des bornes. Distance absolue par rapport à la moyenne : $|100 - 70| = 30$ et $|130 - 100| = 30$. Nombre d'écarts-types : $k = 30 / 15 = 2$. Étape 2 : Application de l'inégalité de Tchebychev. L'inégalité de Tchebychev s'applique à toute distribution possédant une moyenne et un écart-type finis, sans hypothèse de normalité. Elle stipule que : $P(|X - \mu| \ge k\sigma) \le 1/k^2$ Ce qui se réécrit en borne inférieure pour la proportion dans l'intervalle : $P(|X - \mu| < k\sigma) \ge 1 - 1/k^2$ Étape 3 : Substitution et calcul. Avec $k = 2$ : $P(70 < X < 130) \ge 1 - 1/2^2$ $1 - 1/4 = 3/4$ $3/4 = 0,75 = 75 \%$ Résultat : La borne inférieure rigoureuse de la proportion située entre 70 et 130 est de 3/4 (ou 75 %). Cette valeur est garantie pour toute distribution finie de moyenne 100 et d'écart-type 15, quelle que soit sa forme.

D'après la formule de Cayley, le nombre d'arbres couvrants d'un graphe complet à n sommets est n^(n-2). Données : n = 8. Calcul : 8^(8-2) = 8^6. Développement : 8^6 = 262144. Vérification : 8^6 = (2^3)^6 = 2^18. Sachant que 2^10 = 1024 et 2^8 = 256, on a 1024 x 256 = 262144. Le résultat est confirmé. Résultat : 262144.

Données : - X, Y variables de Bernoulli. - P(X=1) = P(Y=1) = 1/2. - P(X=Y) = 1. Raisonnement chiffré : - Espérances : E[X] = 1 * 1/2 + 0 * 1/2 = 1/2. E[Y] = 1 * 1/2 + 0 * 1/2 = 1/2. - Loi jointe : P(X=Y) = 1 implique P(X≠Y) = 0. Donc P(X=1,Y=1) = P(X=1) = 1/2. P(X=0,Y=0) = 1 - 1/2 = 1/2. P(X=1,Y=0) = 0. P(X=0,Y=1) = 0. - Espérance du produit : E[XY] = 1*1*P(X=1,Y=1) + 1*0*P(X=1,Y=0) + 0*1*P(X=0,Y=1) + 0*0*P(X=0,Y=0) = 1 * 1/2 = 1/2. - Covariance : Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y] = 1/2 - (1/2)(1/2) = 1/2 - 1/4 = 1/4. - Variance : Pour une Bernoulli de paramètre p, Var(X) = p(1-p). Ici p=1/2, donc Var(X) = 1/2 * 1/2 = 1/4. De même Var(Y) = 1/4. - Corrélation : ρ(X,Y) = Cov(X,Y) / √(Var(X)Var(Y)) = (1/4) / √((1/4)(1/4)) = (1/4) / (1/4) = 1. Résultat final : - Covariance = 1/4 - Corrélation = 1 Hypothèses : - La variance est strictement positive (1/4 > 0), ce qui rend le dénominateur de la corrélation non nul et le coefficient bien défini. - La condition P(X=Y)=1 impose une dépendance fonctionnelle parfaite (Y=X p.s.), ce qui justifie théoriquement ρ=1. Le résultat est exact et unique.

Données : n = 10 boules distinctes, k = 4 boîtes distinctes. Condition : aucune boîte vide. Raisonnement : Le problème revient à compter le nombre de fonctions surjectives d'un ensemble de 10 éléments vers un ensemble de 4 éléments. On applique le principe d'inclusion-exclusion ou les nombres de Stirling du second genre. Formule d'inclusion-exclusion : N = somme de i=0 à k de (-1)^i * C(k,i) * (k-i)^n Avec k = 4 et n = 10. Calcul étape par étape : Terme 0 (i=0) : + C(4,0) * 4^10 = 1 * 1 048 576 = 1 048 576 Terme 1 (i=1) : - C(4,1) * 3^10 = - 4 * 59 049 = - 236 196 Terme 2 (i=2) : + C(4,2) * 2^10 = + 6 * 1 024 = + 6 144 Terme 3 (i=3) : - C(4,3) * 1^10 = - 4 * 1 = - 4 Terme 4 (i=4) : + C(4,4) * 0^10 = + 1 * 0 = 0 Somme : 1 048 576 - 236 196 + 6 144 - 4 = 818 520 Vérification croisée par les nombres de Stirling du second genre S(n,k) : S(10,4) = 34 105 N = k! * S(10,4) = 24 * 34 105 = 818 520 Les deux méthodes convergent vers le même résultat exact. Résultat final : 818 520 répartitions possibles. Hypothèses : les boules et les boîtes sont distinguables, et chaque distribution correspond à une application unique de l'ensemble des boules vers l'ensemble des boîtes.