Section III — Analyse, calcul différentiel et intégral

Données : Calculer exactement \(I = \int_0^1 x^2\ln x\,dx\). Raisonnement chiffré étape par étape : 1. Intégration par parties. On pose \(u = \ln x\) et \(dv = x^2\,dx\). Alors \(du = \frac{1}{x}\,dx\) et \(v = \frac{x^3}{3}\). 2. Application de la formule \(\int u\,dv = uv - \int v\,du\) : \(I = \left[ \frac{x^3}{3} \ln x \right]_0^1 - \int_0^1 \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x}\,dx\) \(I = \left[ \frac{x^3}{3} \ln x \right]_0^1 - \frac{1}{3} \int_0^1 x^2\,dx\) 3. Évaluation du terme intégré aux bornes : - En \(x = 1\) : \(\frac{1^3}{3} \ln 1 = 0\). - En \(x \to 0^+\) : \(\lim_{x \to 0^+} \frac{x^3}{3} \ln x = 0\) (car \(x^a \ln x \to 0\) pour tout \(a > 0\)). Le terme entre crochets vaut donc \(0 - 0 = 0\). 4. Calcul de l'intégrale restante : \(\frac{1}{3} \int_0^1 x^2\,dx = \frac{1}{3} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9}\). 5. Combinaison : \(I = 0 - \frac{1}{9} = -\frac{1}{9}\). Vérification par outil scientifique (SymPy) : `sp.integrate(x**2 * sp.log(x), (x, 0, 1))` → `-1/9` Résultat final : \(-\frac{1}{9}\).

Convergence : Pour tout entier n >= 1, on a n*(n+1)*(n+2) > n^3, donc 0 < 1/(n*(n+1)*(n+2)) < 1/n^3. La série de Riemann sum(1/n^3) converge car p=3 > 1. Par comparaison directe, la série donnée converge absolument. Calcul de la somme : On effectue une décomposition en éléments simples : 1/(n*(n+1)*(n+2)) = A/n + B/(n+1) + C/(n+2) 1 = A*(n+1)*(n+2) + B*n*(n+2) + C*n*(n+1) - En posant n=0 : 1 = 2*A => A = 1/2 - En posant n=-1 : 1 = -1*B => B = -1 - En posant n=-2 : 1 = 2*C => C = 1/2 Ainsi, le terme général s'écrit : a_n = 1/(2*n) - 1/(n+1) + 1/(2*(n+2)) = 1/2 * [1/n - 2/(n+1) + 1/(n+2)] = 1/2 * [(1/n - 1/(n+1)) - (1/(n+1) - 1/(n+2))] = 1/2 * [1/(n*(n+1)) - 1/((n+1)*(n+2))] La somme partielle S_N = sum_{n=1}^N a_n est une série télescopique : S_N = 1/2 * sum_{n=1}^N [b_n - b_{n+1}] avec b_n = 1/(n*(n+1)) S_N = 1/2 * (b_1 - b_{N+1}) b_1 = 1/(1*2) = 1/2 b_{N+1} = 1/((N+1)*(N+2)) Donc S_N = 1/2 * [1/2 - 1/((N+1)*(N+2))] Passage à la limite : lim (N -> infini) 1/((N+1)*(N+2)) = 0. La somme de la série est S = 1/2 * 1/2 = 1/4. Vérification par outil Python : ```python import sympy as sp n = sp.symbols('n', positive=True, integer=True) term = 1 / (n * (n + 1) * (n + 2)) result = sp.summation(term, (n, 1, sp.oo)) print(result) ``` Sortie : 1/4 Résultat final : La série converge et sa somme vaut 1/4.

Données : on cherche L = lim_{x->0} (sin(x) - x + x^3/6) / x^5. Méthode : développement de Taylor de sin(x) en 0 à l'ordre 5 minimum. Étapes du calcul : 1) On connaît le développement limité de sin(x) en 0 : sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + o(x^7) sin(x) = x - x^3/6 + x^5/120 - x^7/5040 + o(x^7) 2) On substitue dans le numérateur : sin(x) - x + x^3/6 = (x - x^3/6 + x^5/120 - x^7/5040 + o(x^7)) - x + x^3/6 Les termes en x et en -x^3/6 s'annulent exactement. Il reste : x^5/120 - x^7/5040 + o(x^7) 3) On divise par le dénominateur x^5 : (sin(x) - x + x^3/6) / x^5 = 1/120 - x^2/5040 + o(x^2) 4) On prend la limite quand x tend vers 0 : La constante 1/120 reste inchangée. Le terme -x^2/5040 tend vers 0. Le terme o(x^2) tend vers 0 par définition. D'où L = 1/120. Vérification par outil Python : Code exécuté : from sympy import symbols, sin, limit; x = symbols('x'); expr = (sin(x) - x + x**3/6) / x**5; print(limit(expr, x, 0)) Sortie de l'outil : 1/120 Résultat final : 1/120.

Convergence de l'intégrale On applique le critère de Dirichlet pour les intégrales impropres. On pose f(x) = sin(x) et g(x) = 1/x. - La primitive de f sur [1, T] est F(T) = intégrale de 1 à T de sin(x) dx = cos(1) - cos(T). Comme |cos(T)| <= 1, F(T) est bornée sur [1, +inf]. - g(x) = 1/x est strictement décroissante sur [1, +inf] et lim(T -> +inf) g(T) = 0. D'après le théorème de Dirichlet, l'intégrale intégrale de 1 à +inf de sin(x)/x dx converge. Convergence absolue On examine l'intégrale de la valeur absolue : intégrale de 1 à +inf de |sin(x)/x| dx = intégrale de 1 à +inf de |sin(x)|/x dx. On utilise l'inégalité |sin(x)| >= sin^2(x) = (1 - cos(2x))/2. On en déduit : |sin(x)|/x >= 1/(2x) - cos(2x)/(2x). On étudie les deux termes du membre de droite : - L'intégrale intégrale de 1 à +inf de 1/(2x) dx diverge vers +inf (intégrale de Riemann d'exposant alpha = 1). - L'intégrale intégrale de 1 à +inf de cos(2x)/(2x) dx converge par Dirichlet (primitive de cos(2x) bornée, 1/(2x) décroît vers 0). La différence d'une intégrale divergente vers +inf et d'une intégrale convergente diverge vers +inf. Par comparaison, l'intégrale intégrale de 1 à +inf de |sin(x)|/x dx diverge. Conclusion L'intégrale intégrale de 1 à +inf de sin(x)/x dx converge, mais l'intégrale de sa valeur absolue diverge. Elle converge donc conditionnellement.

La solution de l'équation différentielle $y''-3y'+2y=e^x$ avec les conditions initiales $y(0)=0$ et $y'(0)=1$ est : $$y(x) = 2e^{2x} - (x+2)e^x$$ **Détail du raisonnement :** 1. **Solution de l'équation homogène** ($y''-3y'+2y=0$) : L'équation caractéristique $r^2-3r+2=0$ admet les racines $r_1=1$ et $r_2=2$. La solution générale homogène est $y_h(x) = C_1 e^x + C_2 e^{2x}$. 2. **Solution particulière** : Comme $e^x$ est solution de l'équation homogène, on cherche une solution particulière sous la forme $y_p(x) = Axe^x$. En substituant dans l'équation, on trouve $A=-1$, soit $y_p(x) = -xe^x$. 3. **Solution générale** : $y(x) = C_1 e^x + C_2 e^{2x} - xe^x$. 4. **Application des conditions initiales** : * $y(0) = C_1 + C_2 = 0 \implies C_2 = -C_1$. * $y'(x) = C_1 e^x + 2C_2 e^{2x} - e^x(x+1)$. * $y'(0) = C_1 + 2C_2 - 1 = 1 \implies C_1 + 2C_2 = 2$. En substituant $C_2 = -C_1$ dans la seconde équation : $C_1 - 2C_1 = 2 \implies C_1 = -2$. Donc $C_2 = 2$. 5. **Résultat final** : $y(x) = -2e^x + 2e^{2x} - xe^x = 2e^{2x} - (x+2)e^x$. 🔏 Sceau AXIOM : reponse scellee au journal probatoire, certification non atteinte (0 source pour environ 15 affirmations), verifiez les points non sources.

Pour déterminer les extrema globaux de la fonction $f(x) = x^{1/x}$ sur l'intervalle $(0, \infty)$, nous allons procéder par l'analyse de la dérivée et des limites. 1. **Continuité et dérivabilité** La fonction est définie par $f(x) = x^{1/x} = e^{\frac{\ln x}{x}}$. Elle est continue et dérivable sur l'intervalle $(0, \infty)$. 2. **Calcul de la dérivée** Nous utilisons la formule de dérivation pour les fonctions de la forme $u(x)^{v(x)}$ ou nous passons par le logarithme népérien. Posons $y = f(x)$. Alors : $$ \ln(y) = \ln\left(x^{1/x}\right) = \frac{\ln(x)}{x} $$ En dérivant par rapport à $x$ : $$ \frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{\left(\frac{1}{x}\right) \cdot x - \ln(x) \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln(x)}{x^2} $$ En multipliant par $f(x)$, nous obtenons : $$ f'(x) = x^{1/x} \cdot \frac{1 - \ln(x)}{x^2} $$ 3. **Étude du signe de la dérivée** Sur l'intervalle $(0, \infty)$, nous avons $x^{1/x} > 0$ et $x^2 > 0$. Le signe de $f'(x)$ dépend donc uniquement du signe de $1 - \ln(x)$. - $f'(x) = 0$ si et seulement si $1 - \ln(x) = 0$, c'est-à-dire $\ln(x) = 1$, soit $x = e$. - Pour $x \in (0, e)$, $\ln(x) < 1$, donc $f'(x) > 0$. La fonction est strictement croissante. - Pour $x \in (e, \infty)$, $\ln(x) > 1$, donc $f'(x) < 0$. La fonction est strictement décroissante. 4. **Limites aux bornes** - **En $0^+$** : Posons $t = 1/x$. Quand $x \to 0^+$, $t \to +\infty$. $$ f(x) = x^{1/x} = \left(\frac{1}{t}\right)^t = \frac{1}{t^t} $$ Comme $t^t \to +\infty$ quand $t \to +\infty$, nous avons $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0$. - **En $+\infty$** : $$ \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0 \implies \lim_{x \to +\infty} f(x) = e^0 = 1 $$ 5. **Conclusion sur les extrema** La fonction est strictement croissante sur l'intervalle $(0, e]$ et strictement décroissante sur l'intervalle $[e, \infty)$. Elle atteint donc un **maximum global** en $x = e$. La valeur de ce maximum est : $$ f(e) = e^{1/e} $$ Concernant les minima, la fonction tend vers $0$ quand $x \to 0^+$, mais elle ne l'atteint jamais (elle est strictement positive sur son domaine). Il n'y a donc **pas de minimum global** (l'infimum de la fonction est $0$). **Résumé des extrema globaux :** - **Maximum global** : atteint en $x = e$, avec la valeur $e^{1/e}$. - **Minimum global** : n'existe pas (l'infimum est $0$). 🔏 Sceau AXIOM : reponse scellee au journal probatoire, certification non atteinte (0 source pour environ 25 affirmations), verifiez les points non sources.

Données : I = ∫_0^{π/2} ln(sin x) dx Raisonnement étape par étape : 1. Poser I = ∫_0^{π/2} ln(sin x) dx. 2. Effectuer le changement de variable x = π/2 - t. Alors dx = -dt, les bornes deviennent π/2 à 0, et sin(π/2 - t) = cos t. L'intégrale devient I = ∫_0^{π/2} ln(cos t) dt. 3. Additionner les deux expressions de I : 2I = ∫_0^{π/2} [ln(sin x) + ln(cos x)] dx = ∫_0^{π/2} ln(sin x cos x) dx. 4. Utiliser l'identité trigonométrique sin x cos x = (1/2) sin(2x). On obtient 2I = ∫_0^{π/2} ln((1/2) sin(2x)) dx. 5. Décomposer le logarithme : 2I = ∫_0^{π/2} [ln(sin(2x)) - ln(2)] dx = ∫_0^{π/2} ln(sin(2x)) dx - ∫_0^{π/2} ln(2) dx. 6. Calculer la partie constante : ∫_0^{π/2} ln(2) dx = (π/2) ln(2). 7. Traiter la première intégrale. Poser u = 2x, donc dx = du/2. Les bornes deviennent 0 à π. On a ∫_0^{π/2} ln(sin(2x)) dx = (1/2) ∫_0^π ln(sin u) du. 8. Exploiter la symétrie de sin u sur [0, π] : ∫_0^π ln(sin u) du = 2 ∫_0^{π/2} ln(sin u) du = 2I. 9. En substituant : (1/2) ∫_0^π ln(sin u) du = (1/2)(2I) = I. 10. L'équation initiale devient 2I = I - (π/2) ln(2). 11. Soustraire I de chaque côté : I = -(π/2) ln(2). Vérification par calcul symbolique (Sympy) : Code exécuté : sp.integrate(sp.log(sp.sin(x)), (x, 0, sp.pi/2)) Sortie brute : -pi*log(2)/2 Résultat exact : ∫_0^{π/2} ln(sin x) dx = -(π/2) ln(2)

Données de la série : \(a_n = \frac{n^2}{3^n}\). Calcul du rayon R : On applique le critère de d'Alembert sur les coefficients : \(\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2 / 3^{n+1}}{n^2 / 3^n} = \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n+1}{n}\right)^2 \cdot \frac{1}{3} = 1^2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3}\). Le rayon de convergence est \(R = \frac{1}{1/3} = 3\). Vérification des bornes de l'intervalle : - Pour \(x = 3\) : la série devient \(\sum_{n \ge 1} n^2\). Le terme général \(n^2\) tend vers \(+\infty\), donc la série diverge. - Pour \(x = -3\) : la série devient \(\sum_{n \ge 1} n^2 (-1)^n\). Le terme général ne tend pas vers 0 (sa valeur absolue \(n^2\) tend vers \(+\infty\)), donc la série diverge. Intervalle de convergence : La série converge absolument pour \(|x| < 3\) et diverge aux bornes. L'intervalle est donc \(I = (-3, 3)\). Résultat final : Rayon de convergence : R = 3 Intervalle de convergence : I = (-3, 3) Hypothèses : aucune. Les critères standards des séries entières suffisent.

Données - f est une fonction continue de R dans R. - Pour tout reel x, l'intégrale de 0 à x de f(t) dt est égale à 0. Raisonnement étape par étape 1. On définit la fonction F(x) = l'intégrale de 0 à x de f(t) dt. 2. L'hypothèse impose F(x) = 0 pour tout x dans R. 3. La fonction F est donc la fonction constante nulle, ce qui implique F'(x) = 0 pour tout x dans R. 4. La continuité de f sur R permet d'appliquer le théorème fondamental de l'analyse : F est dérivable sur R et sa dérivée vérifie F'(x) = f(x) pour tout x dans R. 5. En égalisant les deux expressions de F'(x) obtenues aux étapes 3 et 4, on déduit f(x) = 0 pour tout x dans R. Résultat final mis en evidence L'affirmation est vraie. Toute fonction continue f : R -> R vérifiant l'intégrale nulle sur tout intervalle [0,x] est identiquement nulle sur R. Hypothèses eventuelles La continuité de f est indispensable. Sans cette hypothèse, la conclusion ne tiendrait qu'en presque partout (au sens de la mesure de Lebesgue), et non pas en chaque point. La continuité garantit l'existence de F'(x) en tout point et son égalité stricte à f(x), ce qui rend la démonstration rigoureuse et globale sur R.

Données : On cherche L = lim(n -> +inf) n * (2^(1/n) - 1). Raisonnement étape par étape : 1) Changement de variable : on pose x = 1/n. Lorsque n -> +inf, on a x -> 0+. 2) Substitution : l'expression se réécrit L = lim(x -> 0+) (2^x - 1) / x. 3) Identification : cette forme correspond à la définition de la dérivée de la fonction f(t) = 2^t au point t = 0, soit f'(0) = lim(x->0) (f(0+x) - f(0))/x. 4) Calcul de la dérivée : la règle de dérivation des exponentielles donne f'(t) = 2^t * ln(2). 5) Évaluation en t = 0 : f'(0) = 2^0 * ln(2) = 1 * ln(2) = ln(2). (On peut aussi utiliser directement la limite usuelle établie : lim(x->0) (a^x - 1)/x = ln(a) pour tout a > 0. Avec a = 2, le résultat est immédiat.) Vérification par le laboratoire Python : Code exécuté : import sympy as sp n = sp.symbols('n', positive=True) expr = n * (2**(1/n) - 1) print(sp.limit(expr, n, sp.oo)) Sortie de l'outil : log(2) Résultat final : ln(2) ~ 0,69314718056.

Etape 1 : Limite simple (ponctuelle) Pour tout x in [0,1], on etudie la limite de x^n quand n tend vers l'infini : - Si x in [0,1), alors x^n tend vers 0. - Si x = 1, alors 1^n = 1 tend vers 1. La limite simple f est donc la fonction definie par : f(x) = 0 si x in [0,1), f(1) = 1. Etape 2 : Critere de continuite Chaque fonction f_n est continue sur [0,1]. Si la convergence etait uniforme, la limite f devrait etre continue sur [0,1]. Or f presente une discontinuite en x=1 (limite a gauche = 0, valeur en 1 = 1). Ce critere suffit a exclure la convergence uniforme. Etape 3 : Verification par la norme infinie (calcul explicite) On calcule la distance uniforme ||f_n - f||_inf = sup_{x in [0,1]} |f_n(x) - f(x)|. Pour x in [0,1), |f_n(x) - f(x)| = |x^n - 0| = x^n. Pour x = 1, |f_n(1) - f(1)| = |1 - 1| = 0. La fonction x -> x^n est strictement croissante sur [0,1), donc le supremum correspond a la limite en 1- : sup_{x in [0,1]} |f_n(x) - f(x)| = sup_{x in [0,1)} x^n = lim_{x -> 1-} x^n = 1. Ainsi, ||f_n - f||_inf = 1 pour tout entier n >= 1. Etape 4 : Conclusion La convergence uniforme exige que lim_{n->inf} ||f_n - f||_inf = 0. Or ici, la suite numerique constante 1 converge vers 1, qui est strictement different de 0. Par consequent, la suite (f_n) ne converge pas uniformement sur [0,1]. Hypotheses et remarques : Le resultat repose sur la definition standard de la convergence uniforme via la norme uniforme. Si l'intervalle est restreint a [0,a] avec a in [0,1), alors ||f_n - f||_inf = a^n qui tend vers 0, et la convergence devient uniforme. Sur [0,1] ferme, la discontinuite de la limite empche l'uniformite.

Données : Fonction à développer : f(x) = ln(cos x) Point d'expansion : x = 0 Ordre demandé : 6 Raisonnement chiffré étape par étape : 1. Développement limité de cos x à l'ordre 6 : cos x = 1 - x^2/2 + x^4/24 - x^6/720 + o(x^6) 2. Poser u = cos x - 1 : u = - x^2/2 + x^4/24 - x^6/720 + o(x^6) On a ln(cos x) = ln(1 + u). 3. Développement limité de ln(1+u) à l'ordre 3 en u (car u est de l'ordre de x^2, u^3 donne x^6) : ln(1+u) = u - u^2/2 + u^3/3 + o(u^3) 4. Calcul des puissances de u à l'ordre 6 : u^2 = (- x^2/2 + x^4/24 + o(x^4))^2 = x^4/4 - 2*(x^2/2)*(x^4/24) + o(x^6) = x^4/4 - x^6/24 + o(x^6) u^3 = (- x^2/2 + o(x^2))^3 = - x^6/8 + o(x^6) 5. Substitution dans ln(1+u) : ln(cos x) = (- x^2/2 + x^4/24 - x^6/720) - 1/2*(x^4/4 - x^6/24) + 1/3*(- x^6/8) + o(x^6) 6. Regroupement par puissances de x : Terme en x^2 : - 1/2 Terme en x^4 : 1/24 - 1/8 = 1/24 - 3/24 = - 2/24 = - 1/12 Terme en x^6 : - 1/720 + 1/48 - 1/24 = - 1/720 + 15/720 - 30/720 = - 16/720 = - 1/45 7. Résultat intermédiaire : ln(cos x) = - x^2/2 - x^4/12 - x^6/45 + o(x^6) Vérification par calcul symbolique (Python) : Code : import sympy as sp x = sp.Symbol('x') expr = sp.log(sp.cos(x)) print(expr.series(x, 0, 7).removeO()) Sortie : - x**6/45 - x**4/12 - x**2/2 La sortie confirme exactement les coefficients calculés manuellement. Résultat final : ln(cos x) = - x^2/2 - x^4/12 - x^6/45 + o(x^6)

Données : - Équation différentielle : f'(x) = f(x) pour tout x dans R - Condition initiale : f(0) = 3 - Domaine : f : R -> R dérivable Raisonnement : L'équation f'(x) = f(x) est une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants. On cherche les solutions sous la forme f(x) = C e^(kx) avec C et k dans R. En dérivant : f'(x) = C k e^(kx). En substituant dans l'équation : C k e^(kx) = C e^(kx). Pour C différent de 0 et tout x, on divise par C e^(kx) et on obtient k = 1. L'ensemble des solutions de l'équation homogène est donc f(x) = C e^x avec C dans R. Application de la condition initiale : f(0) = C e^0 = C x 1 = C. On impose f(0) = 3, d'où C = 3. La solution unique vérifiant la condition initiale est f(x) = 3 e^x. Vérification : - Dérivée : f'(x) = d/dx(3 e^x) = 3 e^x. - Vérification de l'équation : f'(x) = 3 e^x = f(x). L'équation est satisfaite. - Vérification de la condition initiale : f(0) = 3 e^0 = 3 x 1 = 3. La condition est satisfaite. - Unicité : Le théorème d'existence et d'unicité pour les EDO linéaires garantit qu'il n'existe qu'une seule solution globale sur R pour ce problème de Cauchy. Résultat final : f(x) = 3 e^x pour tout x dans R. Hypothèses : - La fonction est supposée dérivable sur R (donnée). - Les propriétés usuelles de la fonction exponentielle sont appliquées. - L'unicité repose sur le théorème de Cauchy-Lipschitz pour les équations différentielles linéaires continues.

Données : I = ∫ de 0 à 1 [ln(1+x) / (1+x)] dx Raisonnement étape par étape : 1. Changement de variable : posons u = ln(1+x). Alors du = 1/(1+x) dx. 2. Transformation des bornes : - x = 0 => u = ln(1) = 0 - x = 1 => u = ln(2) 3. Réécriture de l'intégrale : I = ∫ de 0 à ln(2) u du 4. Primitive : La primitive de u est u^2/2. 5. Calcul : I = [u^2/2] de 0 à ln(2) = (ln(2))^2/2 - 0^2/2 = (ln(2))^2/2 Vérification avec le laboratoire Python : ```python import sympy as sp x = sp.Symbol('x') I = sp.integrate(sp.log(1+x)/(1+x), (x, 0, 1)) print(I) print(float(I)) ``` Sortie : log(2)**2/2 0.2402265069591007 Résultat exact : (ln(2))^2/2 Valeur numérique : ~0,24022650696 Hypothèses : Fonction continue et intégrable sur [0,1], changement de variable valide et bijectif sur l'intervalle.

Données : suite (u_n) definie par u_{n+1} = 1/2 * (u_n + 2/u_n) avec u_0 > 0. Raisonnement étape par étape : 1. Positivite Par recurrence immédiate, puisque u_0 > 0, on a u_n > 0 pour tout entier n >= 0. Le terme 2/u_n est donc toujours bien defini. 2. Minoration par racine(2) pour n >= 1 On applique l'inegalite arithmetico-geometrique aux reels strictement positifs u_n et 2/u_n : u_{n+1} = 1/2 * (u_n + 2/u_n) >= racine(u_n * 2/u_n) = racine(2). Ainsi, u_n >= racine(2) pour tout entier n >= 1. 3. Monotonie a partir de n=1 On etudie le signe de la difference u_{n+1} - u_n pour n >= 1 : u_{n+1} - u_n = 1/2 * (u_n + 2/u_n) - u_n = (u_n + 2/u_n - 2*u_n) / 2 = (2/u_n - u_n) / 2 = (2 - u_n^2) / (2*u_n). Comme u_n >= racine(2) pour n >= 1, on a u_n^2 >= 2, donc 2 - u_n^2 <= 0. Le denominateur 2*u_n etant strictement positif, on en deduit u_{n+1} - u_n <= 0. La suite est donc decroissante a partir du rang n=1. 4. Convergence La suite (u_n)_{n>=1} est decroissante et minorée par racine(2). D'apres le theoreme de la limite monotone, elle converge vers une limite reelle L verifiant L >= racine(2). 5. Calcul de la limite La fonction x |-> 1/2 * (x + 2/x) est continue sur ]0, +infinity[. En passant a la limite dans la relation de recurrence, on obtient : L = 1/2 * (L + 2/L). En multipliant par 2L (avec L > 0), on a 2*L^2 = L^2 + 2, soit L^2 = 2. Comme L >= racine(2) > 0, la seule solution possible est L = racine(2). Resultat final mis en evidence : La suite (u_n) converge vers racine(2). Hypotheses et remarques : - Si u_0 = racine(2), la suite est constante et vaut racine(2) a tout rang. - Si u_0 != racine(2), la suite est strictement decroissante a partir de n=1. - Il s'agit de l'algorithme de Newton-Raphson applique a l'equation x^2 - 2 = 0. La convergence est quadratique, c'est-à-dire que le nombre de chiffres exacts double approximativement a chaque iteration. On peut montrer la majoration d'erreur pour n >= 1 : u_{n+1} - racine(2) <= (1 / (4 * racine(2))) * (u_n - racine(2))^2.

Données : f(x) = |x|^3 Par définition de la valeur absolue, on écrit f(x) par morceaux : Si x >= 0, |x| = x, donc f(x) = x^3. Si x < 0, |x| = -x, donc f(x) = (-x)^3 = -x^3. Etape 1 : Dérivée première f'(x) Sur l'intervalle ]0, +∞[, f(x) = x^3 est polynomiale, donc dérivable. f'(x) = 3x^2. Sur l'intervalle ]-∞, 0[, f(x) = -x^3 est polynomiale, donc dérivable. f'(x) = -3x^2. En x = 0, on vérifie la dérivabilité via les limites du taux d'accroissement : Limite à droite (h -> 0+) : (f(h) - f(0)) / h = (h^3 - 0) / h = h^2. La limite vaut 0. Limite à gauche (h -> 0-) : (f(h) - f(0)) / h = (-h^3 - 0) / h = -h^2. La limite vaut 0. Les deux limites coïncident, donc f est dérivable en 0 et f'(0) = 0. On en déduit : f'(x) = { 3x^2 si x >= 0 ; -3x^2 si x < 0 }, ce qui s'écrit f'(x) = 3x|x|. Etape 2 : Dérivée seconde f''(x) Sur ]0, +∞[, f'(x) = 3x^2, donc f''(x) = 6x. Sur ]-∞, 0[, f'(x) = -3x^2, donc f''(x) = -6x. En x = 0, on vérifie la dérivabilité de f' via les limites du taux d'accroissement : Limite à droite (h -> 0+) : (f'(h) - f'(0)) / h = (3h^2 - 0) / h = 3h. La limite vaut 0. Limite à gauche (h -> 0-) : (f'(h) - f'(0)) / h = (-3h^2 - 0) / h = -3h. La limite vaut 0. Les deux limites coïncident, donc f' est dérivable en 0 et f''(0) = 0. On en déduit : f''(x) = { 6x si x >= 0 ; -6x si x < 0 }, ce qui s'écrit f''(x) = 6|x|. Conclusion : f est dérivable deux fois sur l'ensemble des réels R. Pour tout x dans R, f''(x) = 6|x|.

Résultat exact : π²/6 Démonstration par série de Fourier et identité de Parseval Données : série S = Σ(n=1 à infini) 1/n². Méthode : série de Fourier de f(x) = x sur l'intervalle [-π, π] et théorème de Parseval. Étape 1 : Calcul des coefficients de Fourier. La fonction f(x) = x est impaire sur [-π, π], donc tous les coefficients a_n = 0. Les coefficients b_n s'obtiennent par : b_n = (2/π) ∫(0 à π) x sin(nx) dx Intégration par parties : u = x, dv = sin(nx)dx => du = dx, v = -cos(nx)/n. ∫ x sin(nx) dx = [-x cos(nx)/n](0 à π) + ∫(0 à π) cos(nx)/n dx = [-π cos(nπ)/n - 0] + [sin(nx)/n²](0 à π) = -π (-1)^n / n + 0 = π (-1)^(n+1) / n. On en déduit : b_n = (2/π) × [π (-1)^(n+1) / n] = 2 (-1)^(n+1) / n. La série de Fourier converge vers f(x) en tout point de continuité (théorème de Dirichlet) : x = 2 Σ(n=1 à infini) (-1)^(n+1) sin(nx) / n. Étape 2 : Application de l'identité de Parseval. Pour une fonction de carré intégrable sur [-π, π], on a : (1/π) ∫(-π à π) |f(x)|² dx = Σ(n=1 à infini) (a_n² + b_n²) Membre gauche (calcul de l'intégrale) : (1/π) ∫(-π à π) x² dx = (1/π) [x³/3](-π à π) = (1/π) × (π³/3 - (-π³/3)) = (1/π) × (2π³/3) = 2π²/3. Membre droit (somme des carrés des coefficients) : Σ(n=1 à infini) b_n² = Σ(n=1 à infini) [2 (-1)^(n+1) / n]² = Σ(n=1 à infini) 4 / n² = 4 Σ(n=1 à infini) 1/n². Étape 3 : Égalisation et résolution. 2π²/3 = 4 Σ(n=1 à infini) 1/n² Σ(n=1 à infini) 1/n² = (2π²/3) / 4 = π²/6. Vérification numérique (convergence) : Somme partielle à N=10^6 : 1,6449330668 Valeur cible π²/6 : 1,6449340668 Écart : 9,9 x 10^-7. La convergence numérique valide le résultat analytique. Résultat final exact : π²/6. Hypothèses : la fonction f(x)=x est de carré intégrable sur [-π, π], ce qui justifie l'usage de l'identité de Parseval sans exigence de convergence uniforme. La périodicité par morceaux ne crée pas de discontinuité sur l'intégrale de Parseval.

Données : - Équation différentielle : y' = y(1-y) - Condition initiale : y(0) = 1/2 - Objectifs : trouver y(t) et calculer lim(t → ∞) y(t) Raisonnement étape par étape : 1. Séparation des variables : dy / [y(1-y)] = dt 2. Décomposition en éléments simples : 1 / [y(1-y)] = 1/y + 1/(1-y) L'équation devient : (1/y + 1/(1-y)) dy = dt 3. Intégration de chaque côté : ∫(1/y + 1/(1-y)) dy = ∫dt ln|y| - ln|1-y| = t + C ln|y/(1-y)| = t + C 4. Résolution par exponentiation : y/(1-y) = A e^t avec A = ±e^C y = (1-y) A e^t y(1 + A e^t) = A e^t y(t) = A e^t / (1 + A e^t) 5. Application de la condition initiale y(0) = 1/2 : 1/2 = A / (1 + A) 1 + A = 2A A = 1 La solution explicite est donc : y(t) = e^t / (1 + e^t) Forme équivalente courante : y(t) = 1 / (1 + e^(-t)) 6. Détermination de la limite en l'infini : Lorsque t → ∞, e^(-t) → 0. Donc y(t) → 1 / (1 + 0) = 1. Vérification par code Python : ```python import sympy as sp t = sp.Symbol('t') y = sp.Function('y')(t) ode = sp.Eq(y.diff(t), y*(1-y)) sol = sp.dsolve(ode, y, ics={y.subs(t, 0): sp.Rational(1, 2)}) print(sol) print(sp.limit(sol.rhs, t, sp.oo)) ``` Sortie : Eq(y(t), exp(t)/(exp(t) + 1)) 1 Résultat final : - Solution : y(t) = 1 / (1 + e^(-t)) - Limite : lim(t → ∞) y(t) = 1 Hypothèses : y(t) reste strictement dans l'intervalle ]0, 1[ pour tout t réel, ce qui justifie l'absence de valeurs absolues lors de l'intégration (y > 0 et 1-y > 0). L'existence et l'unicité sont garanties par le théorème de Cauchy-Lipschitz car f(t,y) = y(1-y) est continue et localement lipschitzienne en y sur ℝ.

Données : limite à évaluer L = lim_{x->infini} x (sqrt(x^2+1) - x). Raisonnement chiffré : 1. Forme initiale : infini x (infini - infini), forme indeterminate. 2. Multiplication et division par le conjugué sqrt(x^2+1) + x : x (sqrt(x^2+1) - x) = x * [ (sqrt(x^2+1) - x)(sqrt(x^2+1) + x) ] / (sqrt(x^2+1) + x) 3. Simplification du numérateur conjugué par différence de carrés : (sqrt(x^2+1))^2 - x^2 = (x^2+1) - x^2 = 1. L'expression se réécrit : x / (sqrt(x^2+1) + x). 4. Division du numérateur et du dénominateur par x (pour x > 0) : 1 / ( sqrt(x^2+1)/x + 1 ) = 1 / ( sqrt(1 + 1/x^2) + 1 ). 5. Passage à la limite x -> infini : 1/x^2 -> 0. sqrt(1 + 1/x^2) -> sqrt(1) = 1. Le dénominateur tend vers 1 + 1 = 2. Vérification par outil Python : import sympy as sp x = sp.symbols('x') expr = x * (sp.sqrt(x**2 + 1) - x) res = sp.limit(expr, x, sp.oo) print(res) Sortie : 1/2 Résultat final : 1/2. Hypothèses : x tend vers l'infini positif (x > 0), ce qui justifie la division par x et l'égalité sqrt(x^2) = x lors de la factorisation. La continuité de la racine carrée et des fonctions rationnelles sur le domaine d'étude garantit la validité du passage à la limite. Aucun paramètre externe n'est requis.

**1. Dérivabilité en 0** Par définition, la dérivée en 0 est la limite du taux d’accroissement : lim(h→0) (f(h) - f(0)) / h = lim(h→0) (h² sin(1/h) - 0) / h = lim(h→0) h sin(1/h). On encadre la fonction : pour tout h ≠ 0, |sin(1/h)| ≤ 1, donc |h sin(1/h)| ≤ |h|. La limite de |h| quand h tend vers 0 est 0. Par le théorème des gendarmes, lim(h→0) h sin(1/h) = 0. La fonction est donc dérivable en 0 et f'(0) = 0. **2. Expression de la dérivée sur ℝ \ {0}** Pour x ≠ 0, on applique les règles de dérivation (produit et chaîne) : f'(x) = d/dx [x² sin(1/x)] = 2x sin(1/x) + x² cos(1/x) × (-1/x²) = 2x sin(1/x) - cos(1/x). **3. Continuité de f' en 0** La continuité de f' en 0 exigerait que lim(x→0) f'(x) = f'(0) = 0. On étudie lim(x→0) f'(x) = lim(x→0) [2x sin(1/x) - cos(1/x)]. - Le premier terme vérifie |2x sin(1/x)| ≤ 2|x|, donc lim(x→0) 2x sin(1/x) = 0. - Le second terme cos(1/x) n’a pas de limite quand x tend vers 0 (il oscille indéfiniment entre -1 et 1). Par conséquent, lim(x→0) f'(x) n’existe pas. La dérivée n’est donc pas continue en 0. **Conclusion** La fonction est dérivable en 0 avec f'(0) = 0. Sa dérivée n’est cependant pas continue en 0 car la limite de f'(x) quand x tend vers 0 n’existe pas.

Voici le calcul détaillé de l'intégrale double : \[ I = \int_0^1\int_0^{1-x}(x+y)\,dy\,dx \] **1. Calcul de l'intégrale intérieure (par rapport à \(y\))** On considère \(x\) comme une constante et on intègre par rapport à \(y\) de \(0\) à \(1-x\) : \[ \int_0^{1-x} (x+y) \, dy = \left[ xy + \frac{y^2}{2} \right]_{y=0}^{y=1-x} \] En remplaçant les bornes : - À la borne supérieure \(y = 1-x\) : \[ x(1-x) + \frac{(1-x)^2}{2} = x - x^2 + \frac{1 - 2x + x^2}{2} \] \[ = x - x^2 + \frac{1}{2} - x + \frac{x^2}{2} \] \[ = \frac{1}{2} - \frac{x^2}{2} \] - À la borne inférieure \(y = 0\) : \[ x(0) + \frac{0^2}{2} = 0 \] Le résultat de l'intégrale intérieure est donc : \[ \frac{1}{2} - \frac{x^2}{2} \] **2. Calcul de l'intégrale extérieure (par rapport à \(x\))** On intègre maintenant le résultat précédent par rapport à \(x\) de \(0\) à \(1\) : \[ I = \int_0^1 \left( \frac{1}{2} - \frac{x^2}{2} \right) \, dx \] La primitive est : \[ \left[ \frac{x}{2} - \frac{x^3}{6} \right]_0^1 \] En évaluant aux bornes : - À la borne supérieure \(x = 1\) : \[ \frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \] - À la borne inférieure \(x = 0\) : \[ 0 - 0 = 0 \] **Résultat final** \[ \int_0^1\int_0^{1-x}(x+y)\,dy\,dx = \frac{1}{3} \] 🔏 Sceau AXIOM : reponse scellee au journal probatoire, certification non atteinte (0 source pour environ 2 affirmations), verifiez les points non sources.

Le maximum de \(xyz\) sous les contraintes données est atteint lorsque \(x=y=z=1/3\). Voici le raisonnement détaillé : **Méthode par l'inégalité arithmético-géométrique (AM-GM)** Pour tous réels positifs \(x, y, z\), on a l'inégalité : \[ \frac{x+y+z}{3} \ge \sqrt[3]{xyz} \] En substituant la contrainte \(x+y+z=1\) : \[ \frac{1}{3} \ge \sqrt[3]{xyz} \] En élevant au cube les deux membres (les deux côtés étant positifs) : \[ \left(\frac{1}{3}\right)^3 \ge xyz \] \[ \frac{1}{27} \ge xyz \] L'égalité dans l'inégalité AM-GM est vérifiée si et seulement si \(x=y=z\). Comme \(x+y+z=1\), cela implique \(3x=1\), soit \(x=1/3\). Ainsi, le maximum est atteint pour \(x=1/3, y=1/3, z=1/3\). **Vérification par calcul différentiel** On pose \(z = 1 - x - y\) et on cherche à maximiser \(f(x,y) = xy(1-x-y) = xy - x^2y - xy^2\). Les dérivées partielles sont : \[ \frac{\partial f}{\partial x} = y - 2xy - y^2 = y(1 - 2x - y) \] \[ \frac{\partial f}{\partial y} = x - x^2 - 2xy = x(1 - x - 2y) \] Pour \(x,y > 0\), les points critiques satisfont : 1. \(1 - 2x - y = 0 \implies y = 1 - 2x\) 2. \(1 - x - 2y = 0\) En substituant (1) dans (2) : \[ 1 - x - 2(1 - 2x) = 0 \implies 1 - x - 2 + 4x = 0 \implies 3x = 1 \implies x = 1/3 \] \[ y = 1 - 2(1/3) = 1/3 \] \[ z = 1 - 1/3 - 1/3 = 1/3 \] La valeur obtenue est : \[ xyz = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{27} \] La valeur maximale est **1/27**. 🔏 Sceau AXIOM : reponse scellee au journal probatoire, certification non atteinte (0 source pour environ 7 affirmations), verifiez les points non sources.

Pour étudier la convergence de la série $\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{n(\ln n)^p}$, on applique le test intégral (séries entières) à la fonction associée. **1. Fonction associée et conditions d'application** On pose $f(x) = \frac{1}{x(\ln x)^p}$ sur l'intervalle $[2, +\infty[$. - $f$ est continue et strictement positive sur $[2, +\infty[$. - $f$ est dérivable et $f'(x) = -\frac{1 + p \ln x}{x^2 (\ln x)^{p+1}}$. Pour tout $x \ge 2$ et tout $p \in \mathbb{R}$, on a $f'(x) < 0$. La fonction est donc strictement décroissante. Les conditions du test intégral sont réunies : $\sum_{n=2}^{+\infty} f(n)$ et $\int_2^{+\infty} f(x) \, dx$ ont même nature. **2. Calcul de l'intégrale impropres** On pose le changement de variable $u = \ln x$, d'où $du = \frac{dx}{x}$. Bornes : $x=2 \Rightarrow u=\ln 2$ ; $x \to +\infty \Rightarrow u \to +\infty$. L'intégrale se transforme en : $\int_2^{+\infty} \frac{dx}{x(\ln x)^p} = \int_{\ln 2}^{+\infty} \frac{du}{u^p} = \int_{\ln 2}^{+\infty} u^{-p} \, du$. **3. Étude selon la valeur de $p$** - **Cas $p = 1$ :** $\int_{\ln 2}^{+\infty} \frac{du}{u} = \left[ \ln u \right]_{\ln 2}^{+\infty} = +\infty$. L'intégrale diverge. - **Cas $p \neq 1$ :** $\int_{\ln 2}^{+\infty} u^{-p} \, du = \left[ \frac{u^{1-p}}{1-p} \right]_{\ln 2}^{+\infty}$. La limite en $+\infty$ dépend du signe de $1-p$ : * Si $1-p < 0$ (soit $p > 1$), alors $u^{1-p} \to 0$. L'intégrale vaut $\frac{(\ln 2)^{1-p}}{p-1}$, qui est finie. Convergence. * Si $1-p > 0$ (soit $p < 1$), alors $u^{1-p} \to +\infty$. L'intégrale diverge. **4. Conclusion** La série $\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{1}{n(\ln n)^p}$ : - Converge si et seulement si $p > 1$. - Diverge si $p \le 1$. Ce résultat correspond au cas classique des séries de Bertrand $\sum \frac{1}{n^\alpha (\ln n)^\beta}$ avec $\alpha=1$ et $\beta=p$. Aucune hypothèse supplémentaire n'est requise.

Données : f(t) = t e^(2t) Définition : F(s) = ∫_0^∞ f(t) e^(-st) dt Application : F(s) = ∫_0^∞ t e^(2t) e^(-st) dt = ∫_0^∞ t e^(-(s-2)t) dt Condition de convergence de l'intégrale improprie : Pour que l'intégrale converge en ∞, l'exposant de l'exponentielle doit être strictement négatif : -(s-2) < 0 ⇒ s-2 > 0 ⇒ s > 2. Calcul par parties : On pose u = t et dv = e^(-(s-2)t) dt. Alors du = dt et v = -1/(s-2) e^(-(s-2)t). La formule ∫ u dv = [uv]_0^∞ - ∫ v du s'écrit : [ -t/(s-2) e^(-(s-2)t) ]_0^∞ - ∫_0^∞ (-1/(s-2) e^(-(s-2)t)) dt L'évaluation de [uv]_0^∞ donne 0 (en 0, le terme est nul ; en ∞, l'exponentielle e^(-(s-2)t) tend vers 0 plus vite que t ne croît, pour s > 2). Il reste : ∫_0^∞ 1/(s-2) e^(-(s-2)t) dt = 1/(s-2) ∫_0^∞ e^(-(s-2)t) dt La primitive de e^(-(s-2)t) est -1/(s-2) e^(-(s-2)t). Évaluation aux bornes : [-1/(s-2) e^(-(s-2)t)]_0^∞ = (0) - (-1/(s-2) e^0) = 1/(s-2) En multipliant par le facteur extérieur 1/(s-2), on obtient : 1/(s-2) x 1/(s-2) = 1/(s-2)^2 Vérification par propriété du déplacement fréquentiel : L(t^n) = n! / s^(n+1) pour s > 0. Pour n=1, L(t) = 1/s^2. La propriété L(e^(at) f(t)) = F(s-a) avec a=2 donne F(s-2) = 1/(s-2)^2. Le domaine de convergence initial s > 0 se décale de a=2, soit s-2 > 0 ⇒ s > 2. Résultat exact : 1 / (s-2)^2 Domaine de convergence : s > 2

Pour déterminer l'existence de la limite de $f(x,y)=\frac{x^2y}{x^4+y^2}$ en $(0,0)$, on applique la méthode des chemins d'approche. Si deux trajectoires vers l'origine fournissent des valeurs limites différentes, la limite globale n'existe pas. Données : $f(x,y)=\frac{x^2y}{x^4+y^2}$ pour $(x,y)\neq(0,0)$, $f(0,0)=0$. Chemins étudiés : 1. Axe des abscisses ($y=0$) $f(x,0)=\frac{x^2 \cdot 0}{x^4+0^2}=0$ $\lim_{x\to 0} f(x,0)=0$ 2. Paraboles $y=kx^2$ avec $k\in\mathbb{R}$ Substitution dans l'expression : $f(x,kx^2)=\frac{x^2(kx^2)}{x^4+(kx^2)^2}=\frac{kx^4}{x^4+k^2x^4}=\frac{kx^4}{x^4(1+k^2)}=\frac{k}{1+k^2}$ Pour tout $x\neq 0$, la valeur est constante. $\lim_{x\to 0} f(x,kx^2)=\frac{k}{1+k^2}$ Vérification des valeurs selon $k$ : - $k=0 \implies \frac{0}{1+0}=0$ - $k=1 \implies \frac{1}{1+1}=1/2$ - $k=2 \implies \frac{2}{1+4}=2/5$ Analyse : La limite obtenue dépend explicitement du paramètre $k$. Les valeurs $0$ et $1/2$ sont distinctes. En analyse multivariée, cette divergence selon le chemin d'approche invalide l'existence d'une limite unique. Résultat final : La fonction ne possède pas de limite en $(0,0)$.