Section II — Algèbre, polynômes et algèbre linéaire

Soit P(x) = x^8 + 4x^4 + 16. 1. Reduction a un polynome du second degre On pose y = x^4. Alors P(x) devient Q(y) = y^2 + 4y + 16. Le discriminant est Delta = 4^2 - 4*16 = 16 - 64 = -48. Les racines de Q sont y1 = (-4 + i√48)/2 = -2 + 2i√3 et y2 = (-4 - i√48)/2 = -2 - 2i√3. 2. Recherche des racines quatriemes (sur C) On ecrit y1 et y2 sous forme exponentielle. |y1| = √((-2)^2 + (2√3)^2) = √(4+12) = 4. Arg(y1) = 2π/3 car cos(2π/3) = -1/2 et sin(2π/3) = √3/2. Donc y1 = 4e^(i2π/3) et y2 = 4e^(-i2π/3). Les racines de x^4 = y1 sont de module √2 et d'arguments (2π/3 + 2kπ)/4 = π/6 + kπ/2 pour k=0,1,2,3. Ce qui donne les angles : π/6, 2π/3, 7π/6, 5π/3. De meme, les racines de x^4 = y2 sont de module √2 et d'arguments (-2π/3 + 2kπ)/4 = -π/6 + kπ/2. Ce qui donne les angles : -π/6, π/3, 5π/6, 4π/3. L'ensemble des 8 racines de P dans C est donc : √2 e^(iπ/6), √2 e^(iπ/3), √2 e^(i2π/3), √2 e^(i5π/6), √2 e^(-iπ/6), √2 e^(-iπ/3), √2 e^(-i2π/3), √2 e^(-i5π/6). 3. Factorisation sur C P(x) = (x - √2 e^(iπ/6)) (x - √2 e^(iπ/3)) (x - √2 e^(i2π/3)) (x - √2 e^(i5π/6)) (x - √2 e^(-iπ/6)) (x - √2 e^(-iπ/3)) (x - √2 e^(-i2π/3)) (x - √2 e^(-i5π/6)). 4. Factorisation sur R On regroupe les facteurs conjugues deux a deux. Pour un angle θ, (x - α)(x - α̅) = x^2 - 2Re(α)x + |α|^2. Ici |α|^2 = (√2)^2 = 2 et 2Re(α) = 2√2 cos(θ). - Pour θ = π/6 : cos(π/6) = √3/2 => 2√2 * √3/2 = √6. Facteur : x^2 - √6 x + 2. - Pour θ = π/3 : cos(π/3) = 1/2 => 2√2 * 1/2 = √2. Facteur : x^2 - √2 x + 2. - Pour θ = 2π/3 : cos(2π/3) = -1/2 => 2√2 * (-1/2) = -√2. Facteur : x^2 + √2 x + 2. - Pour θ = 5π/6 : cos(5π/6) = -√3/2 => 2√2 * (-√3/2) = -√6. Facteur : x^2 + √6 x + 2. La factorisation sur R est donc : P(x) = (x^2 - √6 x + 2)(x^2 - √2 x + 2)(x^2 + √2 x + 2)(x^2 + √6 x + 2). 5. Verification On multiplie les facteurs deux a deux par difference de deux carres : (x^2 - √6 x + 2)(x^2 + √6 x + 2) = (x^2 + 2)^2 - (√6 x)^2 = x^4 + 4x^2 + 4 - 6x^2 = x^4 - 2x^2 + 4. (x^2 - √2 x + 2)(x^2 + √2 x + 2) = (x^2 + 2)^2 - (√2 x)^2 = x^4 + 4x^2 + 4 - 2x^2 = x^4 + 2x^2 + 4. Produit des deux resultats : (x^4 - 2x^2 + 4)(x^4 + 2x^2 + 4) = (x^4 + 4)^2 - (2x^2)^2 = x^8 + 8x^4 + 16 - 4x^4 = x^8 + 4x^4 + 16. La factorisation est confirmee.

Données du système: S1 = x + y + z = 6 S2 = xy + yz + zx = 11 S3 = xyz = 6 Mise en équation (Formules de Viète): Les variables x, y, z sont les racines du polynôme caractéristique dont les coefficients sont les sommes symétriques élémentaires: P(t) = t^3 - S1*t^2 + S2*t - S3 P(t) = t^3 - 6t^2 + 11t - 6 Résolution de l'équation cubique: On recherche les racines rationnelles via le théorème de la racine rationnelle (diviseurs entiers du terme constant 6): t ∈ {1, 2, 3, 6}. Test de t = 1: P(1) = 1^3 - 6(1)^2 + 11(1) - 6 = 1 - 6 + 11 - 6 = 0. Donc t = 1 est une racine. On factorise P(t) par (t - 1) par division euclidienne: (t^3 - 6t^2 + 11t - 6) ÷ (t - 1) = t^2 - 5t + 6. Factorisation du trinôme restant: t^2 - 5t + 6 = (t - 2)(t - 3). Les racines du polynôme sont donc t = 1, t = 2, t = 3. Vérification par substitution: Somme: 1 + 2 + 3 = 6 (conforme à S1) Somme des produits deux à deux: (1x2) + (2x3) + (3x1) = 2 + 6 + 3 = 11 (conforme à S2) Produit: 1x2x3 = 6 (conforme à S3) Vérification computationnelle: ```python import sympy as sp t = sp.Symbol('t') poly = t**3 - 6*t**2 + 11*t - 6 roots = sp.solve(poly, t) import itertools sols = list(itertools.permutations(roots)) print("Racines:", roots) print("Solutions:", sols) ``` Sortie: Racines: [1, 2, 3] Solutions: [(1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1)] Ensemble des solutions: Le système étant symétrique, toute permutation des valeurs {1, 2, 3} est solution. Il y a 3! = 6 solutions ordonnées. Résultat final: L'ensemble des solutions du système est {(1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), (3, 2, 1)}. Hypothèses: Les variables sont considérées dans l'ensemble des nombres réels (la solution reste identique dans l'ensemble des complexes).

Soit α = √2 + √3. 1. Mise en équation x = √2 + √3 x^2 = (√2 + √3)^2 = 2 + 3 + 2√6 = 5 + 2√6 x^2 - 5 = 2√6 2. Élimination de l'irrationnel (x^2 - 5)^2 = (2√6)^2 x^4 - 10x^2 + 25 = 24 x^4 - 10x^2 + 1 = 0 Le polynôme candidat est P(x) = x^4 - 10x^2 + 1. 3. Verification par calcul formel ```python from sympy import symbols, minimal_polynomial, QQ, sqrt x = symbols('x') alpha = sqrt(2) + sqrt(3) poly = minimal_polynomial(alpha, x, domain=QQ) print(poly) ``` Sortie Python : x**4 - 10*x**2 + 1 4. Irréductibilité et minimalité sur Q - P(x) est unitaire, de degré 4, à coefficients entiers (donc rationnels). - Le corps Q(√2, √3) est de degré 4 sur Q. L'élément α = √2 + √3 engendre ce même corps (on peut exprimer √2 et √3 comme combinaisons rationnelles de puissances de α). Le degré du polynôme minimal doit donc être exactement 4. - P(x) n'a pas de racine rationnelle (les seuls diviseurs de 1 sont ±1, et P(1) = -8, P(-1) = -8). Il ne peut pas se factoriser en produit de deux polynômes de degré 1. - Si P(x) se factorisait en deux polynômes quadratiques sur Q, les racines appartiendraient à une extension quadratique de Q, ce qui contredirait [Q(α) : Q] = 4. P(x) est donc irréductible sur Q. - Un polynôme unitaire, irréductible sur Q, de degré minimal ayant α comme racine, est par définition le polynôme minimal. Verification par substitution : P(√2 + √3) = (√2 + √3)^4 - 10(√2 + √3)^2 + 1 = (5 + 2√6)^2 - 10(5 + 2√6) + 1 = 25 + 20√6 + 24 - 50 - 20√6 + 1 = 0 Le polynôme minimal sur Q de √2 + √3 est x^4 - 10x^2 + 1.

## 1. Valeurs propres de A On résout det(A − λI) = 0 : $$ \det\begin{pmatrix} 2-\lambda & 1 & 0 \\ 1 & 2-\lambda & 1 \\ 0 & 1 & 2-\lambda \end{pmatrix} = 0 $$ Développement par rapport à la première ligne : $$ (2-\lambda)\left[(2-\lambda)^2 - 1\right] - 1\left[(2-\lambda)\right] = 0 $$ $$ (2-\lambda)\left[(2-\lambda)^2 - 1 - 1\right] = 0 $$ $$ (2-\lambda)\left[(2-\lambda)^2 - 2\right] = 0 $$ $$ (2-\lambda)(\lambda^2 - 4\lambda + 2) = 0 $$ Les racines de $\lambda^2 - 4\lambda + 2 = 0$ sont : $$ \lambda = \frac{4 \pm \sqrt{16-8}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 2 \pm \sqrt{2} $$ **Les valeurs propres sont :** $$ \lambda_1 = 2-\sqrt{2}, \quad \lambda_2 = 2, \quad \lambda_3 = 2+\sqrt{2} $$ Comme les trois valeurs propres sont distinctes, la matrice A est diagonalisable. --- ## 2. Diagonalisation de A ### Vecteurs propres **Pour $\lambda_1 = 2-\sqrt{2}$ :** On résout $(A - (2-\sqrt{2})I)\vec{v} = \vec{0}$ : $$ \begin{pmatrix} \sqrt{2} & 1 & 0 \\ 1 & \sqrt{2} & 1 \\ 0 & 1 & \sqrt{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$ De la première équation : $y = -x\sqrt{2}$. De la deuxième : $x + y\sqrt{2} + z = 0 \Rightarrow x - 2x + z = 0 \Rightarrow z = x$. La troisième vérifie : $-x\sqrt{2} + x\sqrt{2} = 0$. Un vecteur propre associé : $\vec{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -\sqrt{2} \\ 1 \end{pmatrix}$ **Pour $\lambda_2 = 2$ :** $$ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$ De la première équation : $y = 0$. De la deuxième : $x + z = 0 \Rightarrow z = -x$. Un vecteur propre associé : $\vec{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$ **Pour $\lambda_3 = 2+\sqrt{2}$ :** $$ \begin{pmatrix} -\sqrt{2} & 1 & 0 \\ 1 & -\sqrt{2} & 1 \\ 0 & 1 & -\sqrt{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} $$ De la première équation : $y = x\sqrt{2}$. De la deuxième : $x - y\sqrt{2} + z = 0 \Rightarrow x - 2x + z = 0 \Rightarrow z = x$. La troisième vérifie : $x\sqrt{2} - x\sqrt{2} = 0$. Un vecteur propre associé : $\vec{v}_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{2} \\ 1 \end{pmatrix}$ ### Matrice de passage P et matrice diagonale D $$ P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -\sqrt{2} & 0 & \sqrt{2} \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}, \quad D = \begin{pmatrix} 2-\sqrt{2} & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2+\sqrt{2} \end{pmatrix} $$ ### Inverse de P On calcule $\det(P)$ : $$ \det(P) = 1(0 + \sqrt{2}) - 1(-\sqrt{2} - \sqrt{2}) + 1(\sqrt{2} + 0) = \sqrt{2} + 2\sqrt{2} + \sqrt{2} = 4\sqrt{2} $$ La comatrice transposée donne : $$ P^{-1} = \frac{1}{4\sqrt{2}} \begin{pmatrix} \sqrt{2} & -2 & \sqrt{2} \\ 2\sqrt{2} & 0 & -2\sqrt{2} \\ \sqrt{2} & 2 & \sqrt{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & -\frac{\sqrt{2}}{4} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{4} & \frac{\sqrt{2}}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} $$ On vérifie que $P \cdot D \cdot P^{-1} = A$, confirmant la diagonalisation. --- ## 3. Calcul de $A^{20}$ Par diagonalisation, $A^{20} = P \cdot D^{20} \cdot P^{-1}$. Posons : - $a = (2-\sqrt{2})^{20}$ - $b = 2^{20} = 1\,048\,576$ - $c = (2+\sqrt{2})^{20}$ On calcule $A^{20} = P \cdot \text{diag}(a,b,c) \cdot P^{-1}$ : $$ A^{20} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -\sqrt{2} & 0 & \sqrt{2} \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a/4 & -a\sqrt{2}/4 & a/4 \\ b/2 & 0 & -b/2 \\ c/4 & c\sqrt{2}/4 & c/4 \end{pmatrix} $$ En effectuant le produit matriciel, on obtient : $$ A^{20} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} a + 2b + c & \sqrt{2}(c - a) & a - 2b + c \\ \sqrt{2}(c - a) & 2(a + c) & \sqrt{2}(c - a) \\ a - 2b + c & \sqrt{2}(c - a) & a + 2b + c \end{pmatrix} $$ Soit, en remplaçant $a, b, c$ : $$ A^{20} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} (2-\sqrt{2})^{20} + 2^{21} + (2+\sqrt{2})^{20} & \sqrt{2}\left[(2+\sqrt{2})^{20} - (2-\sqrt{2})^{20}\right] & (2-\sqrt{2})^{20} - 2^{21} + (2+\sqrt{2})^{20} \\ \sqrt{2}\left[(2+\sqrt{2})^{20} - (2-\sqrt{2})^{20}\right] & 2\left[(2-\sqrt{2})^{20} + (2+\sqrt{2})^{20}\right] & \sqrt{2}\left[(2+\sqrt{2})^{20} - (2-\sqrt{2})^{20}\right] \\ (2-\sqrt{2})^{20} - 2^{21} + (2+\sqrt{2})^{20} & \sqrt{2}\left[(2+\sqrt{2})^{20} - (2-\sqrt{2})^{20}\right] & (2-\sqrt{2})^{20} + 2^{21} + (2+\sqrt{2})^{20} \end{pmatrix} $$ ### Remarques - La matrice $A^{20}$ est symétrique, comme attendu puisque A est symétrique. - On observe que $(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2}) = 2$, donc $(2-\sqrt{2})^{20} \cdot (2+\sqrt{2})^{20} = 2^{20}$, ce qui implique $a \cdot c = b$. - Comme $2-\sqrt{2} \approx 0,586 < 1$, on a $a = (2-\sqrt{2})^{20} \approx 3,5 \times 10^{-6}$, négligeable devant $b = 2^{20} = 1\,048\,576$ et $c = (2+\sqrt{2})^{20} \approx 3,00 \times 10^6$. - À la limite, $A^{20} \approx \frac{c}{4} \begin{pmatrix} 1 & \sqrt{2} & 1 \\ \sqrt{2} & 2 & \sqrt{2} \\ 1 & \sqrt{2} & 1 \end{pmatrix}$. 🔏 Sceau AXIOM : reponse scellee au journal probatoire, certification non atteinte (0 source pour environ 17 affirmations), verifiez les points non sources.

**Données** - Matrice inconnue : \(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\) avec \(a,b,c,d \in \mathbb{R}\). - Conditions : \(A^2 = I_2\) et \(\operatorname{tr}(A) = 0\). **Raisonnement** 1. La trace nulle impose \(a + d = 0\), soit \(d = -a\). 2. On substitue dans \(A\) : \(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & -a \end{pmatrix}\). 3. On calcule \(A^2\) : \[ A^2 = \begin{pmatrix} a & b \\ c & -a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & -a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 + bc & ab - ab \\ ac - ac & bc + a^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 + bc & 0 \\ 0 & a^2 + bc \end{pmatrix}. \] 4. L'égalité \(A^2 = I_2\) exige que les termes diagonaux valent \(1\) et les termes hors-diagonaux \(0\). Les hors-diagonaux sont déjà nuls. Il reste la condition unique : \[ a^2 + bc = 1. \] 5. Les paramètres \(b\) et \(c\) restent libres, sous réserve que \(a\) satisfasse \(a^2 = 1 - bc\). Cela implique \(1 - bc \geq 0\), soit \(bc \leq 1\). **Vérification par calcul formel** ```python import sympy as sp a, b, c = sp.symbols('a b c', real=True) A = sp.Matrix([[a, b], [c, -a]]) A2 = A**2 print("A^2 =", A2) print("Condition imposée :", sp.Eq(A2[0,0], 1)) ``` Sortie : ``` A^2 = Matrix([[a**2 + b*c, 0], [0, a**2 + b*c]]) Condition imposée : Eq(a**2 + b*c, 1) ``` **Résultat final** L'ensemble des matrices réelles \(2\times2\) vérifiant \(A^2=I_2\) et \(\operatorname{tr}(A)=0\) est : \[ \mathcal{S} = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & -a \end{pmatrix} \;\middle|\; a,b,c \in \mathbb{R},\; a^2 + bc = 1 \right\}. \] **Hypothèses / Remarques** - La condition \(a^2 + bc = 1\) équivaut à \(\det(A) = -1\) (puisque \(\det(A) = -a^2 - bc\)). Par le théorème de Cayley-Hamilton, tout endomorphisme de trace nulle vérifie \(A^2 + \det(A)I = 0\), donc \(A^2=I \iff \det(A)=-1\). Le résultat est cohérent. - Aucun paramètre n'est imposé à valeur fixe ; \(a\) peut varier dans \([-1, 1]\) si \(b,c\) sont choisis, ou inversement. La famille est de dimension \(3\) dans \(\mathbb{R}^4\) sous une contrainte algébrique quadratique.

Donnees et decomposition Soit A la matrice n x n definie par A_ii = 2 et A_ij = 1 pour i != j. On peut decomposer cette matrice comme A = J + I, ou J est la matrice n x n dont tous les coefficients valent 1, et I est la matrice identite. Raisonnement par valeurs propres La matrice J est de rang 1. Ses valeurs propres sont : - lambda_1 = n (multiplicite 1, vecteur propre associe (1, 1, ..., 1)^T) - lambda_2 = ... = lambda_n = 0 (multiplicite n-1) L'ajout de la matrice identite I decale toutes les valeurs propres de 1. Les valeurs propres de A = J + I sont donc : - mu_1 = n + 1 (multiplicite 1) - mu_2 = ... = mu_n = 1 (multiplicite n-1) Le determinant est le produit des valeurs propres : det(A) = (n + 1) x 1^(n-1) = n + 1. Verification numerique Je vais calculer les determinants pour n variant de 1 a 5 pour confirmer la formule. ```python import numpy as np for n in range(1, 6): A = np.ones((n, n)) + np.eye(n) det_val = np.linalg.det(A) print(f"n={n}, det={det_val}") ``` Sortie de l'outil : n=1, det=2.0 n=2, det=3.0 n=3, det=4.0 n=4, det=5.0 n=5, det=6.0 Les resultats numeriques confirment exactement la relation det(A) = n + 1. Resultat final det(A) = n + 1.

On pose w = z^3. L'équation initiale devient l'équation quadratique w^2 + w + 1 = 0. Calcul de w : Le discriminant est Delta = 1^2 - 4 = -3. Les racines sont w1 = (-1 + i*sqrt(3))/2 et w2 = (-1 - i*sqrt(3))/2. En forme exponentielle, ces valeurs correspondent aux racines cubiques primitives de l'unité : w1 = e^(i*2*pi/3) w2 = e^(i*4*pi/3) Résolution de z^3 = w1 : On cherche z sous la forme z = e^(i*theta) (le module est 1 car |z|^3 = |w1| = 1). L'équation en argument donne : 3*theta = 2*pi/3 + 2*k*pi, avec k entier. theta = 2*pi/9 + 2*k*pi/3. Pour k = 0 : theta = 2*pi/9 Pour k = 1 : theta = 2*pi/9 + 6*pi/9 = 8*pi/9 Pour k = 2 : theta = 2*pi/9 + 12*pi/9 = 14*pi/9 Les trois solutions issues de w1 sont : z1 = e^(i*2*pi/9), z2 = e^(i*8*pi/9), z3 = e^(i*14*pi/9). Résolution de z^3 = w2 : De même, 3*theta = 4*pi/3 + 2*k*pi. theta = 4*pi/9 + 2*k*pi/3. Pour k = 0 : theta = 4*pi/9 Pour k = 1 : theta = 4*pi/9 + 6*pi/9 = 10*pi/9 Pour k = 2 : theta = 4*pi/9 + 12*pi/9 = 16*pi/9 Les trois solutions issues de w2 sont : z4 = e^(i*4*pi/9), z5 = e^(i*10*pi/9), z6 = e^(i*16*pi/9). Ensemble des solutions dans C : S = { e^(i*2*pi/9), e^(i*4*pi/9), e^(i*8*pi/9), e^(i*10*pi/9), e^(i*14*pi/9), e^(i*16*pi/9) } Verification : L'identité remarquable (z^3 - 1)(z^6 + z^3 + 1) = z^9 - 1 montre que l'équation initiale est equivalente à (z^9 - 1)/(z^3 - 1) = 0, avec la condition z^3 ne vaut pas 1. Les racines de z^9 - 1 = 0 sont e^(i*2*k*pi/9) pour k in {0, 1, ..., 8}. Les racines de z^3 - 1 = 0 correspondent aux valeurs k in {0, 3, 6} (angles 0, 2*pi/3, 4*pi/3). En excluant ces trois cas, il reste exactement les six valeurs k in {1, 2, 4, 5, 7, 8}, qui correspondent aux angles 2*pi/9, 4*pi/9, 8*pi/9, 10*pi/9, 14*pi/9, 16*pi/9. Chaque solution vérifie |z| = 1 et remplace bien z^3 par w1 ou w2, satisfaisant ainsi z^6 + z^3 + 1 = 0.

Soit $V$ la matrice de taille $n \times m$ définie par $V_{ij} = x_i^{j-1}$ pour $1 \le i \le n$ et $1 \le j \le m$. On note $k$ le nombre de valeurs distinctes parmi l'ensemble $\{x_1, x_2, \dots, x_n\}$. Le rang exact de $V$ est : \[ \text{rg}(V) = \min(k, m) \] Critère exact : - Si $m \ge k$, alors $\text{rg}(V) = k$. - Si $m < k$, alors $\text{rg}(V) = m$. Dans le cas carré usuel ($m = n$), on a donc $\text{rg}(V) = k$. Justification rigoureuse : 1. Si deux indices $i$ et $i'$ satisfont $x_i = x_{i'}$, alors les lignes $i$ et $i'$ de $V$ sont strictement identiques. Le nombre de lignes linéairement indépendantes est donc au plus égal au nombre de valeurs distinctes $k$. D'où $\text{rg}(V) \le k$. 2. On extrait de $V$ un sous-ensemble de $k$ lignes correspondant aux $k$ valeurs distinctes $y_1, \dots, y_k$. Ces lignes forment une sous-matrice de Vandermonde classique à noeuds distincts, de taille $k \times m$. Le rang d'une telle matrice est exactement $\min(k, m)$ (déterminant non nul pour $k \le m$, ou produit scalaire des colonnes indépendantes pour $k > m$). 3. Les $n - k$ lignes restantes étant des copies exactes de ces $k$ lignes, elles n'apportent aucune nouvelle direction dans l'espace ligne. Le rang total est donc exactement $\min(k, m)$. Remarque technique : la convention $0^0 = 1$ est appliquée pour la première colonne ($j=1$), ce qui est standard dans la définition algébrique des matrices de Vandermonde et garantit la cohérence du calcul pour $x_i = 0$.

L'affirmation est fausse. Réfutation détaillée ci-dessous. Contre-exemple concret : Considérons les matrices carrées d'ordre 2 : A = [[1, 0], [0, 1]] B = [[1, 1], [0, 1]] Vérification par calcul (code Python et sortie) : ```python import sympy as sp X = sp.Symbol('X') A = sp.Matrix([[1, 0], [0, 1]]) B = sp.Matrix([[1, 1], [0, 1]]) pA = A.charpoly(X).as_expr() pB = B.charpoly(X).as_expr() mA = A.minpoly(X).as_expr() mB = B.minpoly(X).as_expr() print(f"Polynôme caractéristique de A : {pA}") print(f"Polynôme caractéristique de B : {pB}") print(f"Polynôme minimal de A : {mA}") print(f"Polynôme minimal de B : {mB}") ``` Sortie : Polynôme caractéristique de A : (X - 1)**2 Polynôme caractéristique de B : (X - 1)**2 Polynôme minimal de A : X - 1 Polynôme minimal de B : (X - 1)**2 Analyse mathématique : 1. Même polynôme caractéristique : Les deux matrices ont bien le même polynôme caractéristique, à savoir (X - 1)**2. 2. Non-similarité : Deux matrices semblables doivent nécessairement avoir le même polynôme minimal. Ici, le polynôme minimal de A est X - 1, tandis que celui de B est (X - 1)**2. Comme X - 1 ≠ (X - 1)**2, A et B ne peuvent pas être semblables. 3. Argument équivalent : A est la matrice identité, donc elle est diagonalisable. B n'est pas diagonalisable (sa seule valeur propre est 1, de multiplicité géométrique 1, inférieure à sa multiplicité algébrique 2). La diagonalisabilité est préservée par similitude, ce qui confirme que A et B ne sont pas semblables. Conclusion théorique : La réciproque est vraie : si deux matrices sont semblables, elles ont le même polynôme caractéristique. Cependant, l'implication demandée est fausse. Le polynôme caractéristique n'est qu'un invariant de similitude parmi d'autres. Pour que deux matrices soient semblables, il faut qu'elles partagent les mêmes diviseurs élémentaires (ou la même forme canonique de Frobenius, ou la même forme de Jordan à permutation des blocs près). Le polynôme minimal, le rang de (M - λI)**k pour chaque valeur propre λ, et la géométrie des espaces propres sont des invariants plus fins qui permettent de distinguer les classes de similitude. L'affirmation est donc réfutée.

Éléments demandés : 1. Détermination de toutes les racines de P(x). 2. Explication de la structure de sa factorisation. Calcul et factorisation : Données : P(x) = x^5 - 5x^3 + 4x Étape 1 : Factorisation par le terme commun x P(x) = x(x^4 - 5x^2 + 4) Étape 2 : Réduction en équation du second degré (polynôme biquadratique) On introduit la variable auxiliaire u = x^2. L'expression entre parenthèses devient u^2 - 5u + 4. Discriminant : Delta = (-5)^2 - 4(1)(4) = 25 - 16 = 9 Racines en u : u_1 = (5 - racine(9))/2 = (5 - 3)/2 = 1 u_2 = (5 + racine(9))/2 = (5 + 3)/2 = 4 Factorisation en u : (u - 1)(u - 4) Étape 3 : Remplacement de u par x^2 et factorisation sur R (x^2 - 1)(x^2 - 4) = (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2) Étape 4 : Factorisation complète de P(x) dans Q[x] P(x) = x(x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2) Racines déterminées : x = 0 x = 1 x = -1 x = 2 x = -2 Chaque racine est simple (multiplicité 1). Vérification par code : ```python from sympy import symbols, factor, solve x = symbols('x') P = x**5 - 5*x**3 + 4*x print(factor(P)) print(sorted(solve(P, x))) ``` Sortie : x*(x - 2)*(x - 1)*(x + 1)*(x + 2) [-2, -1, 0, 1, 2] Le résultat manuel est confirmé. Structure de la factorisation : - Parité et symétrie : P(x) ne contient que des puissances impaires de x, ce qui en fait une fonction impaire. Cette propriété impose une symétrie centrale des racines par rapport à 0. C'est pourquoi les racines non nulles apparaissent obligatoirement par paires opposées : {1, -1} et {2, -2}. - Type algébrique : Après extraction du facteur x (correspondant à la racine 0), il reste un polynôme biquadratique (degré 4 en x, mais degré 2 en x^2). Cette structure spécifique permet une résolution exacte par un simple changement de variable linéaire vers une équation du second degré classique. - Corps de scindage : Les coefficients étant entiers et les racines toutes entières, le polynôme est entièrement scindé sur Q (les nombres rationnels) et sur R (les nombres réels). Il n'existe aucun facteur irréductible de degré supérieur à 1. - Cohérence avec les formules de Viète : La somme des racines vaut 0, ce qui correspond au coefficient nul du terme x^4. Le produit des racines vaut 0, ce qui correspond au terme constant nul du polynôme initial. Le coefficient de x^3 vaut -5, qui correspond exactement à la somme des produits pris deux à deux des racines : (-2)(-1) + (-2)(0) + (-2)(1) + (-2)(2) + (-1)(0) + (-1)(1) + (-1)(2) + (0)(1) + (0)(2) + (1)(2) = 2 + 0 - 2 - 4 + 0 - 1 - 2 + 0 + 0 + 2 = -5. La correspondance est rigoureuse. Résultat final : Les racines sont -2, -1, 0, 1, 2. La factorisation complète est P(x) = x(x-1)(x+1)(x-2)(x+2). La structure repose sur une symétrie impaire et un polynôme biquadratique entièrement scindable sur Q.

Pour calculer l'inverse exact de la matrice \(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&4\\5&6&0\end{pmatrix}\), on utilise la formule \(A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A)\). **1. Calcul du determinant** On developpe par rapport a la premiere ligne : \(\det(A) = 1 \times \det\begin{pmatrix}1&4\\6&0\end{pmatrix} - 2 \times \det\begin{pmatrix}0&4\\5&0\end{pmatrix} + 3 \times \det\begin{pmatrix}0&1\\5&6\end{pmatrix}\) \(\det(A) = 1 \times (1\times0 - 4\times6) - 2 \times (0\times0 - 4\times5) + 3 \times (0\times6 - 1\times5)\) \(\det(A) = 1 \times (-24) - 2 \times (-20) + 3 \times (-5)\) \(\det(A) = -24 + 40 - 15 = 1\) Puisque \(\det(A) = 1 \neq 0\), la matrice est inversible. **2. Calcul de la comatrice et de l'adjointe** Les cofacteurs \(C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}\) sont : \(C_{11} = +(0-24) = -24\) \(C_{12} = -(0-20) = 20\) \(C_{13} = +(0-5) = -5\) \(C_{21} = -(0-18) = 18\) \(C_{22} = +(0-15) = -15\) \(C_{23} = -(6-10) = 4\) \(C_{31} = +(8-3) = 5\) \(C_{32} = -(4-0) = -4\) \(C_{33} = +(1-0) = 1\) La comatrice est \(C = \begin{pmatrix}-24&20&-5\\18&-15&4\\5&-4&1\end{pmatrix}\). L'adjointe est la transposee de \(C\) : \(\text{adj}(A) = C^T = \begin{pmatrix}-24&18&5\\20&-15&-4\\-5&4&1\end{pmatrix}\). **3. Verification par code Python** ```python from sympy import Matrix A = Matrix([[1, 2, 3], [0, 1, 4], [5, 6, 0]]) det_A = A.det() inv_A = A.inv() print(f"determinant={det_A}") print(f"inverse={inv_A}") ``` Sortie : determinant=1 inverse=Matrix([[-24, 18, 5], [20, -15, -4], [-5, 4, 1]]) **4. Resultat final** Comme \(\det(A)=1\), l'inverse exact est : \[ A^{-1} = \begin{pmatrix}-24&18&5\\20&-15&-4\\-5&4&1\end{pmatrix} \] Verification : le produit \(A \times A^{-1}\) redonne strictement la matrice identite \(I_3\).

1. Décomposition structurelle fondamentale La relation T^2 = T signifie que T est un projecteur (éventuellement oblique). L'espace ℝ^3 se décompose en somme directe : ℝ^3 = Im(T) ⊕ Ker(T). La condition rank(T) = 1 implique dim(Im(T)) = 1. Par le théorème du rang, dim(Ker(T)) = 3 - 1 = 2. Ainsi, T est entièrement déterminé par le choix d'un sous-espace de dimension 1 (l'image) et d'un sous-espace de dimension 2 (le noyau) qui sont supplémentaires dans ℝ^3. 2. Interprétation géométrique Géométriquement, T est la projection parallèlement sur une droite D (Im(T)) selon un plan P (Ker(T)), avec la seule contrainte D ∩ P = {0} (ce qui garantit D ⊕ P = ℝ^3). Tout vecteur x ∈ ℝ^3 s'écrit de manière unique x = d + p avec d ∈ D et p ∈ P. Alors T(x) = d. Le projecteur agit comme l'identité sur D et comme l'application nulle sur P. 3. Forme algébrique et matricielle Algébriquement, T s'écrit nécessairement sous la forme : T(x) = φ(x) v, pour tout x ∈ ℝ^3, où v ∈ ℝ^3 est un vecteur non nul (générateur de Im(T)) et φ est une forme linéaire non nulle (élément du dual de ℝ^3). La condition T^2 = T impose φ(v) = 1. En effet, T(T(x)) = T(φ(x)v) = φ(x)T(v) = φ(x)φ(v)v, et l'égalité T^2 = T exige φ(v) = 1. Dans n'importe quelle base, la matrice M de T est le produit extérieur : M = v φ^T. La condition φ(v) = 1 se traduit par φ^T v = 1. Réciproquement, tout produit extérieur u w^T vérifiant w^T u = 1 définit un projecteur de rang 1. 4. Propriétés spectrales et caractérisation algébrique Les valeurs propres de T sont 1 (de multiplicité géométrique 1, correspondant à Im(T)) et 0 (de multiplicité géométrique 2, correspondant à Ker(T)). Le polynôme minimal est X(X-1), donc T est diagonalisable sur ℝ. Pour tout projecteur, tr(T) = dim(Im(T)). Ici, tr(M) = 1. Cette relation est nécessaire et suffit, jointe à M^2 = M et rank(M) = 1, pour caractériser l'ensemble. Les équations algébriques caractéristiques sont : - M^2 = M - tr(M) = 1 - M ≠ 0 (automatique si tr(M)=1) Ces conditions équivalent à rank(M) = 1 pour un projecteur. 5. Paramétrisation complète et degrés de liberté L'ensemble de ces applications est en bijection avec l'ensemble des paires (D, P) où D est une droite vectorielle, P un plan vectoriel, et D ⊕ P = ℝ^3. En coordonnées, on paramètre par : - Un vecteur colonne v = (a, b, c)^T ≠ 0 - Un vecteur ligne φ^T = (α, β, γ) tel que αa + βb + γc = 1 La matrice s'écrit : M = [ aα aβ aγ ] [ bα bβ bγ ] [ cα cβ cγ ] Le nombre de paramètres libres est 4. En effet, les 6 coordonnées (a,b,c,α,β,γ) sont soumises à 1 équation de contrainte (αa+βb+γc=1), soit 5 degrés de liberté. Une homothétie v → kv et φ → φ/k (k ≠ 0) laisse T inchangé, ce qui réduit d'1 le nombre de paramètres. L'ensemble forme une variété différentielle de dimension 4, isomorphe à un fibré ouvert de la Grassmannienne Gr(1,3) × Gr(2,3). Résumé structural : T est exactement l'ensemble des projecteurs de rang 1 sur ℝ^3. Ils sont tous de la forme T(x) = φ(x)v avec φ(v)=1, géométriquement des projections sur une droite selon un plan qui ne la contient pas, algébriquement des matrices de rang 1 de trace 1 satisfaisant M^2=M, et paramétrés par 4 degrés de liberté.

Données : diviseur \(x^3 - x\), dividende \(x^{100}\). Raisonnement chiffré : On cherche \(R(x)\) de degré strictement inférieur à \(3\) tel que : \(x^{100} = Q(x)(x^3 - x) + R(x)\). On pose \(R(x) = ax^2 + bx + c\). Le diviseur se factorise en \(x(x-1)(x+1)\), ce qui fournit les racines \(0, 1, -1\). En évaluant l'identité polynomiale aux racines du diviseur : \(R(0) = 0^{100} = 0 \Rightarrow c = 0\) \(R(1) = 1^{100} = 1 \Rightarrow a + b + c = 1 \Rightarrow a + b = 1\) \(R(-1) = (-1)^{100} = 1 \Rightarrow a - b + c = 1 \Rightarrow a - b = 1\) Résolution du système linéaire : \((a + b) + (a - b) = 1 + 1 \Rightarrow 2a = 2 \Rightarrow a = 1\) \((a + b) - (a - b) = 1 - 1 \Rightarrow 2b = 0 \Rightarrow b = 0\) Avec \(c = 0\), on obtient \(R(x) = x^2\). Vérification par récurrence modulo \(x^3 - x\) : \(x^3 \equiv x \pmod{x^3 - x}\) \(x^4 \equiv x \cdot x^3 \equiv x^2\) \(x^5 \equiv x \cdot x^4 \equiv x^3 \equiv x\) \(x^6 \equiv x \cdot x^5 \equiv x^2\) Le motif se répète avec une période \(2\) pour les puissances paires et impaires. Pour tout entier pair \(n \ge 2\), \(x^n \equiv x^2 \pmod{x^3 - x}\). Comme \(100\) est pair et \(100 \ge 2\), \(x^{100} \equiv x^2\). Vérification par calcul symbolique : ```python from sympy import symbols, rem x = symbols('x') print(rem(x**100, x**3 - x, x)) ``` Sortie de l'outil : `x**2` Résultat final mis en évidence : \(x^2\) Hypothèses éventuelles : polynômes à coefficients dans un anneau intègre (par exemple \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\)), ce qui garantit l'unicité du reste et la validité de la division euclidienne. Le raisonnement s'appuie sur le théorème de la division euclidienne dans \(K[x]\) et sur l'évaluation aux racines simples du diviseur.

Données : équation \(x^4 - 10x^2 + 1 = 0\) Raisonnement : 1. Substitution : poser \(y = x^2\) transforme l'équation en \(y^2 - 10y + 1 = 0\). 2. Discriminant : \(\Delta = (-10)^2 - 4 \times 1 \times 1 = 100 - 4 = 96\). 3. Racines de \(y\) : \(y_{1,2} = \frac{10 \pm \sqrt{96}}{2} = \frac{10 \pm 4\sqrt{6}}{2} = 5 \pm 2\sqrt{6}\). 4. Retour à \(x\) : \(x^2 = 5 + 2\sqrt{6}\) ou \(x^2 = 5 - 2\sqrt{6}\). 5. Décomposition des racines carrées imbriquées : on cherche \(a, b > 0\) tels que \((\sqrt{a} \pm \sqrt{b})^2 = a + b \pm 2\sqrt{ab}\). On identifie \(a + b = 5\) et \(ab = 6\). Les nombres sont \(2\) et \(3\). - \(\sqrt{5 + 2\sqrt{6}} = \sqrt{3} + \sqrt{2}\) - \(\sqrt{5 - 2\sqrt{6}} = \sqrt{3} - \sqrt{2}\) (car \(\sqrt{3} > \sqrt{2}\)) 6. Vérification par outil Python : Données : Équation \(x^4 - 10x^2 + 1 = 0\). **Étape 1 : Changement de variable** L'équation est une équation bicarrée. Posons \(X = x^2\). L'équation devient une équation du second degré : \(X^2 - 10X + 1 = 0\) **Étape 2 : Résolution de l'équation du second degré** Calculons le discriminant \(\Delta\) : \(\Delta = (-10)^2 - 4 \times 1 \times 1 = 100 - 4 = 96\) Calculons la racine carrée du discriminant : \(\sqrt{96} = \sqrt{16 \times 6} = 4\sqrt{6}\) Les solutions pour \(X\) sont : \(X_1 = \frac{10 - 4\sqrt{6}}{2} = 5 - 2\sqrt{6}\) \(X_2 = \frac{10 + 4\sqrt{6}}{2} = 5 + 2\sqrt{6}\) **Étape 3 : Retour à la variable \(x\)** Nous devons résoudre \(x^2 = 5 - 2\sqrt{6}\) et \(x^2 = 5 + 2\sqrt{6}\). Pour \(x^2 = 5 - 2\sqrt{6}\) : Nous cherchons à décomposer l'expression sous la forme \((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab\). On identifie \(a^2 + b^2 = 5\) et \(2ab = 2\sqrt{6} \implies ab = \sqrt{6}\). En testant \(a = \sqrt{3}\) et \(b = \sqrt{2}\) : \(a^2 + b^2 = 3 + 2 = 5\) \(ab = \sqrt{3} \times \sqrt{2} = \sqrt{6}\) Ainsi, \(5 - 2\sqrt{6} = (\sqrt{3} - \sqrt{2})^2\). Les solutions sont \(x = \sqrt{3} - \sqrt{2}\) et \(x = -(\sqrt{3} - \sqrt{2}) = \sqrt{2} - \sqrt{3}\). Pour \(x^2 = 5 + 2\sqrt{6}\) : De même, nous remarquons que \((\sqrt{3} + \sqrt{2})^2 = 3 + 2 + 2\sqrt{6} = 5 + 2\sqrt{6}\). Ainsi, \(5 + 2\sqrt{6} = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^2\). Les solutions sont \(x = \sqrt{3} + \sqrt{2}\) et \(x = -(\sqrt{3} + \sqrt{2}) = -\sqrt{3} - \sqrt{2}\). **Résultat final** L'ensemble des solutions réelles de l'équation est : \(S = \{ \sqrt{3} - \sqrt{2}, \sqrt{2} - \sqrt{3}, \sqrt{3} + \sqrt{2}, -\sqrt{3} - \sqrt{2} \}\) On peut aussi noter les solutions sous la forme compacte : \(x = \pm \sqrt{3} \pm \sqrt{2}\) 🔏 Sceau AXIOM : reponse scellee au journal probatoire, certification non atteinte (0 source pour environ 24 affirmations), verifiez les points non sources.

```python import sympy as sp C = sp.Matrix([[1, 2, 3, 4], [4, 1, 2, 3], [3, 4, 1, 2], [2, 3, 4, 1]]) print(C.eigenvals()) ``` Sortie de l'outil Python : `{10: 1, -2: 1, -2 - 2*I: 1, -2 + 2*I: 1}` **Méthode analytique et calcul détaillé** Une matrice circulante de taille n x n dont la première ligne est (c0, c1, ..., cn-1) possède des valeurs propres données par la transformée de Fourier discrète de cette première ligne : λk = Σ (de j=0 à n-1) cj * ω^(jk) avec ω = e^(2πi/n) racine primitive n-ième de l'unité. Ici, n = 4, donc ω = i. Les indices k varient de 0 à 3. Première ligne : c0=1, c1=2, c2=3, c3=4. Calcul de chaque valeur propre : - k=0 : λ0 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10 - k=1 : λ1 = 1 + 2(i) + 3(i^2) + 4(i^3) = 1 + 2i - 3 - 4i = -2 - 2i - k=2 : λ2 = 1 + 2(i^2) + 3(i^4) + 4(i^6) = 1 + 2(-1) + 3(1) + 4(-1) = 1 - 2 + 3 - 4 = -2 - k=3 : λ3 = 1 + 2(i^3) + 3(i^6) + 4(i^9) = 1 + 2(-i) + 3(-1) + 4(i) = 1 - 2i - 3 + 4i = -2 + 2i Vérification par substitution rapide (somme des valeurs propres = trace = 1+1+1+1 = 4 ; 10 + (-2) + (-2-2i) + (-2+2i) = 4. Produit = déterminant. Le calcul est cohérent.) **Spectre final** Le spectre de la matrice est l'ensemble des valeurs propres calculées, toutes de multiplicité 1 : {10, -2, -2+2i, -2-2i}

Données : A est une matrice carrée réelle de taille n × n, avec n impair, vérifiant A^T = -A. Raisonnement : 1. On applique le déterminant aux deux membres de l'égalité A^T = -A : det(A^T) = det(-A). 2. Propriété de la transposée : det(A^T) = det(A). 3. Propriété de l'homogénéité du déterminant : det(kA) = k^n det(A). Avec k = -1, on obtient det(-A) = (-1)^n det(A). 4. Comme n est impair, (-1)^n = -1, donc det(-A) = -det(A). 5. Substitution dans l'égalité de l'étape 1 : det(A) = -det(A). 6. Addition de det(A) des deux côtés : 2 det(A) = 0. 7. Division par 2 : det(A) = 0. Résultat final : det(A) = 0. Hypothèses : A est une matrice à coefficients réels, de taille impaire, et antisymétrique (A^T = -A).

Etape 1 : Analyse des extremums de f(x) Soit f(x) = x^3 - 3x + a. f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x - 1)(x + 1). Les points critiques sont x = -1 et x = 1. f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + a = -1 + 3 + a = 2 + a (maximum local). f(1) = 1^3 - 3(1) + a = 1 - 3 + a = -2 + a (minimum local). Etape 2 : Conditions geometriques pour 3 racines reels distinctes Un polynome cubique possède trois racines reels distinctes si et seulement si son maximum local est strictement positif et son minimum local est strictement negatif. Condition 1 : f(-1) > 0 => 2 + a > 0 => a > -2. Condition 2 : f(1) < 0 => -2 + a < 0 => a < 2. Intersection des deux conditions : -2 < a < 2. Etape 3 : Verification par le discriminant (outil Python) import sympy as sp x, a = sp.symbols('x a', real=True) f = x**3 - 3*x + a disc = sp.discriminant(f, x) print(disc) Sortie du laboratoire : 108 - 27*a**2 Interpretation du resultat Python : Delta = 108 - 27a^2 = 27(4 - a^2). Pour trois racines reels distinctes, il faut Delta > 0. 27(4 - a^2) > 0 => 4 - a^2 > 0 => a^2 < 4 => -2 < a < 2. Le resultat est identique a l'analyse des extremums. Etape 4 : Conclusion L'ensemble des valeurs de a pour lesquelles x^3 - 3x + a admet trois racines reels distinctes est l'intervalle ouvert ]-2, 2[. Reponse finale : -2 < a < 2.

Le resultat est : det(I + uv^T) = 1 + v^T u. Justification eteta pareta eta (methode par les valeurs propres) : 1. La matrice M = uv^T est de rang au plus 1. Si u = 0 ou v = 0, alors M = 0 et det(I) = 1, ce qui correspond exactement a la formule 1 + v^T u = 1 + 0 = 1. Supposons desormais u != 0 et v != 0. 2. Determination des valeurs propres de M = uv^T : - Pour tout vecteur x tel que v^T x = 0, on a Mx = u(v^T x) = u(0) = 0. L'ensemble de ces vecteurs forme le sous-espace orthogonal a v, de dimension n-1. Ainsi, 0 est valeur propre de M avec une multiplicité d'au moins n-1. - Le complement de ce sous-espace est engendre par u. On calcule l'image de u par M : Mu = u(v^T u) = (v^T u)u. Cela montre que u est un vecteur propre de M associe a la valeur propre lambda = v^T u. - Les valeurs propres de M sont donc 0 (multiplicite n-1) et v^T u (multiplicite 1). 3. Passage a I + uv^T : - Les valeurs propres de I + uv^T s'obtiennent en ajoutant 1 a chaque valeur propre de M. Elles sont donc 1 (multiplicite n-1) et 1 + v^T u (multiplicite 1). 4. Calcul du determinant : - Le determinant est egal au produit des valeurs propres, comptees avec leur multiplicité : det(I + uv^T) = 1^(n-1) x (1 + v^T u) = 1 + v^T u. Ce resultat correspond au lemme du determinants de matrice applique au cas A = I. La formule est exacte, valide pour tout entier n >= 1 et tout couple de vecteurs u, v dans R^n.

On factorise le polynôme annulateur : \[X^2 - 3X + 2 = (X-1)(X-2).\] L'équation matricielle s'écrit \((A-I)(A-2I) = 0\). Le polynôme minimal \(\mu_A(X)\) de \(A\) divise \((X-1)(X-2)\). Comme les racines 1 et 2 sont distinctes, \(\mu_A(X)\) n'a pas de facteur de degré supérieur à 1 ni de multiplicité. Par conséquent, \(A\) est diagonalisable sur \(\mathbb{R}\). Les valeurs propres de \(A\) doivent être parmi les racines du polynôme annulateur, donc \(\lambda_1, \lambda_2 \in \{1, 2\}\). On distingue trois cas selon les valeurs propres : 1. **Cas \(\lambda_1 = \lambda_2 = 1\)** : \(A\) est diagonalisable, donc semblable à \(I\). On obtient \(A = I\). 2. **Cas \(\lambda_1 = \lambda_2 = 2\)** : \(A\) est diagonalisable, donc semblable à \(2I\). On obtient \(A = 2I\). 3. **Cas \(\{\lambda_1, \lambda_2\} = \{1, 2\}\)** : \(A\) est semblable à la matrice diagonale \(D = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\). Il existe donc une matrice de passage \(P \in GL_2(\mathbb{R})\) telle que : \[A = P \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} P^{-1}.\] **Caractérisation alternative par invariants :** Pour toute matrice \(A \in M_2(\mathbb{R})\), le théorème de Cayley-Hamilton impose \(A^2 - \text{tr}(A)A + \det(A)I = 0\). En comparant avec l'équation donnée, on voit que les matrices du cas 3 sont exactement celles qui vérifient : \[\text{tr}(A) = 3 \quad \text{et} \quad \det(A) = 2.\] Réciproquement, si \(\text{tr}(A)=3\) et \(\det(A)=2\), le polynôme caractéristique est \(X^2-3X+2\), donc \(A\) satisfait l'équation. Les matrices scalaires \(I\) et \(2I\) ne rentrent pas dans cette condition (leurs traces et déterminants sont respectivement 2,1 et 4,4). **Ensemble complet des solutions :** \[ \mathcal{S} = \{ I, \ 2I \} \cup \left\{ P \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} P^{-1} \mid P \in GL_2(\mathbb{R}) \right\} \] ou, de manière équivalente : \[ \mathcal{S} = \{ I, 2I \} \cup \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \text{tr}(A)=3 \text{ et } \det(A)=2 \}. \] **Vérification :** - \(I^2 - 3I + 2I = 0\). - \((2I)^2 - 3(2I) + 2I = 4I - 6I + 2I = 0\). - Si \(A = PDP^{-1}\), alors \(A^2 - 3A + 2I = P(D^2 - 3D + 2I)P^{-1} = P(0)P^{-1} = 0\). Toutes les matrices satisfaisant l'équation sont ainsi exactement caractérisées.

Soit \(E = \mathbb{R}_5[X]\) l'espace des polynômes réels de degré \(\le 5\). On cherche la sous-espaces vectorielle \(F = \{ P \in E \mid (X^2+1) \text{ divise } P \}\). **1. Paramétrage de l'espace** Pour tout \(P \in F\), la condition de divisibilité implique l'existence d'un unique polynôme \(Q \in \mathbb{R}[X]\) tel que : \(P(X) = (X^2+1)Q(X)\) En comparant les degrés : \(\deg(P) = 2 + \deg(Q)\). Comme \(\deg(P) \le 5\), on en déduit \(\deg(Q) \le 3\). Ainsi, \(Q\) parcourt exactement l'espace \(\mathbb{R}_3[X]\) des polynômes de degré \(\le 3\). **2. Dimension** L'application \(\phi : \mathbb{R}_3[X] \to F\) définie par \(\phi(Q) = (X^2+1)Q\) est linéaire et bijective (isomorphisme). Elle préserve la dimension : \(\dim(F) = \dim(\mathbb{R}_3[X]) = 4\) **3. Base proposée** Une base canonique de \(\mathbb{R}_3[X]\) est \((1, X, X^2, X^3)\). En appliquant \(\phi\) à chaque vecteur, on obtient une base de \(F\) : \(B = \{ X^2+1,\ X(X^2+1),\ X^2(X^2+1),\ X^3(X^2+1) \}\) En développant : \(P_0(X) = X^2 + 1\) \(P_1(X) = X^3 + X\) \(P_2(X) = X^4 + X^2\) \(P_3(X) = X^5 + X^3\) **4. Vérification** - *Génération* : Tout \(P \in F\) s'écrit \((X^2+1)Q\) avec \(Q = a + bX + cX^2 + dX^3\). Par linéarité, \(P\) est combinaison linéaire de \(P_0, P_1, P_2, P_3\). - *Indépendance* : Les polynômes \(P_0, P_1, P_2, P_3\) ont des degrés distincts (2, 3, 4, 5). Des polynômes de degrés distincts sont toujours linéairement indépendants. **Résultat final** - Dimension : 4 - Base : \((X^2+1,\ X^3+X,\ X^4+X^2,\ X^5+X^3)\)

1. Analyse des valeurs propres Soit λ une valeur propre de A. Par propriété de l'homothétie sur les vecteurs propres, si A v = λ v, alors A^3 v = λ^3 v. L'hypothèse A^3 = I implique λ^3 = 1. L'équation X^3 - 1 = 0 se factorise sur R en (X - 1)(X^2 + X + 1) = 0. Le facteur quadratique X^2 + X + 1 a un discriminant Δ = 1^2 - 4 = -3 < 0, donc il n'admet aucune racine réelle. La seule solution réelle de λ^3 = 1 est λ = 1. 2. Contrainte de diagonalisation sur R Une matrice diagonalisable sur R possède obligatoirement un spectre contenu dans R. Tous les valeurs propres de A doivent donc être réelles. Combiné avec l'étape 1, cela implique que le spectre de A ne peut contenir que la valeur 1. Toutes les valeurs propres de A sont égales à 1. 3. Déduction de la forme réelle de A Puisque A est diagonalisable sur R, il existe une base de R^n constituée de vecteurs propres de A. Dans cette base, la matrice représentative est diagonale. Comme toutes les valeurs propres valent 1, cette matrice diagonale est exactement la matrice identité I_n. La matrice A est donc semblable à I_n : il existe une matrice inversible P telle que A = P I_n P^{-1}. Or P I_n P^{-1} = P P^{-1} = I_n. On en déduit que A = I_n. 4. Conclusion synthétique - Valeurs propres possibles : λ = 1 est l'unique valeur propre possible (multiplicité algébrique et géométrique égales à la dimension n). - Forme réelle de A : A est obligatoirement la matrice identité I_n de taille n x n. Aucune autre matrice réelle diagonalisable ne satisfait A^3 = I.

**1. Calcul du déterminant de la matrice des coefficients** La matrice du système est : $$M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix}$$ Développement par rapport à la première ligne : $\det(M) = 1 \times (a \times a - 1 \times 1) - 1 \times (1 \times a - 1 \times 1) + 1 \times (1 \times 1 - a \times 1)$ $\det(M) = (a^2 - 1) - (a - 1) + (1 - a)$ $\det(M) = a^2 - 1 - a + 1 + 1 - a$ $\det(M) = a^2 - 2a + 1 = (a - 1)^2$ Le déterminant s'annule si et seulement si $a = 1$. **2. Cas $a \neq 1$ (solution unique)** Le système est de Cramer. On le résout par soustraction d'équations : - $(Eq_2) - (Eq_1)$ : $(x + ay + z) - (x + y + z) = 2 - 1 \Rightarrow (a - 1)y = 1 \Rightarrow y = \frac{1}{a - 1}$ - $(Eq_3) - (Eq_1)$ : $(x + y + az) - (x + y + z) = 3 - 1 \Rightarrow (a - 1)z = 2 \Rightarrow z = \frac{2}{a - 1}$ Substitution dans $(Eq_1)$ pour $x$ : $x + \frac{1}{a - 1} + \frac{2}{a - 1} = 1$ $x + \frac{3}{a - 1} = 1$ $x = 1 - \frac{3}{a - 1} = \frac{a - 1 - 3}{a - 1} = \frac{a - 4}{a - 1}$ Vérification par substitution dans $(Eq_2)$ : $x + ay + z = \frac{a - 4}{a - 1} + a \times \frac{1}{a - 1} + \frac{2}{a - 1} = \frac{a - 4 + a + 2}{a - 1} = \frac{2a - 2}{a - 1} = \frac{2(a - 1)}{a - 1} = 2$. (Conforme) **3. Cas $a = 1$ (absence de solution)** En remplaçant $a$ par $1$ dans le système initial : $(Eq_1) \Rightarrow x + y + z = 1$ $(Eq_2) \Rightarrow x + y + z = 2$ $(Eq_3) \Rightarrow x + y + z = 3$ Les trois équations imposent simultanément que $x+y+z$ vaille $1$, $2$ et $3$, ce qui est contradictoire. Le système est inconsistent. **4. Conclusion** - Si $a \neq 1$, le système admet une unique solution : $x = \frac{a - 4}{a - 1}$, $y = \frac{1}{a - 1}$, $z = \frac{2}{a - 1}$ - Si $a = 1$, le système n'admet aucune solution.

Données : les quatre points (0,1), (1,2), (2,5), (3,10). Méthode : On cherche le polynôme de degré minimal P(x). Quatre points autorisent un polynôme d'interpolation jusqu'au degré 3, mais on teste d'abord si une courbe quadratique (degré 2) les satisfait tous. On pose P(x) = ax^2 + bx + c. P(0) = 1 => c = 1. P(1) = 2 => a + b + 1 = 2 => a + b = 1. P(2) = 5 => 4a + 2b + 1 = 5 => 4a + 2b = 4 => 2a + b = 2. On soustrait l'équation 1 de l'équation 2 : (2a + b) - (a + b) = 2 - 1 => a = 1. On remplace dans a + b = 1 : 1 + b = 1 => b = 0. On vérifie avec le quatrième point : P(3) = 3^2 + 0 x 3 + 1 = 9 + 1 = 10. La valeur correspond exactement. Le degré minimal est donc 2. Vérification computationnelle stricte : ```python from sympy import symbols, interpolate x = symbols('x') points = [(0,1), (1,2), (2,5), (3,10)] P = interpolate(points, x) print(P) ``` Sortie : x**2 + 1 Résultat : P(x) = x^2 + 1. Forme simple équivalente : x^2 + 1 est déjà la forme développée canonique. Aucune factorisation ni réécriture ne simplifie l'expression (les racines sont complexes pures ±i√1). La forme x^2 + 1 est donc la forme simple équivalente unique et définitive.

L'affirmation est fausse. Contre-exemple : soit A = [0 1; 0 0] dans M_2(R). Vérification que A^2 est diagonalisable : A^2 = [0 1; 0 0] x [0 1; 0 0] = [0 0; 0 0]. La matrice nulle est déjà diagonale. Elle est donc diagonalisable sur R (et sur C). Vérification que A n'est pas diagonalisable : - Polynôme caractéristique : chi_A(X) = det(XI - A) = X^2. La seule valeur propre est lambda = 0. - Sous-espace propre associé : E_0(A) = Ker(A). On résout A * [x; y] = [0; 0], ce qui donne 0*x + 1*y = 0 et 0*x + 0*y = 0, soit y = 0. Le noyau est engendré par [1; 0], donc dim(E_0(A)) = 1. - Condition nécessaire de diagonalisation : une matrice carrée de taille n est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions de ses sous-espaces propres est égale à n. Ici, n = 2 et dim(E_0(A)) = 1. Puisque 1 < 2, A n'est pas diagonalisable. - Critère équivalent (polynôme minimal) : mu_A(X) = X^2. Un endomorphisme est diagonalisable si et seulement si son polynôme minimal est scindé à racines simples. Ici, X^2 présente une racine double, donc la diagonalisation est impossible. Conclusion : l'existence de la matrice A = [0 1; 0 0] réfute l'énoncé. La diagonalisabilité de A^2 n'implique pas celle de A.

Données : Matrice \(A\) de taille \(n \times n\) définie par \(A_{ij} = i + j\) pour \(1 \le i, j \le n\). Raisonnement : 1) Décomposition en somme de matrices de rang 1 : On peut écrire \(A_{ij} = i \cdot 1 + 1 \cdot j\). En notant \(\mathbf{u} = (1, 2, \dots, n)^T\) et \(\mathbf{1} = (1, 1, \dots, 1)^T\), on a : \(A = \mathbf{u}\mathbf{1}^T + \mathbf{1}\mathbf{u}^T\). Chaque terme \(\mathbf{u}\mathbf{1}^T\) et \(\mathbf{1}\mathbf{u}^T\) est une matrice de rang 1. Par sub-additivité du rang : \(\operatorname{rank}(A) \le \operatorname{rank}(\mathbf{u}\mathbf{1}^T) + \operatorname{rank}(\mathbf{1}\mathbf{u}^T) = 1 + 1 = 2\). Donc \(\operatorname{rank}(A) \le 2\) pour tout \(n \ge 2\). 2) Minoration du rang pour \(n \ge 2\) : On examine la sous-matrice principale d'ordre 2 (lignes 1-2, colonnes 1-2) : \(M_2 = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+1 & 1+2 \\ 2+1 & 2+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\). Son déterminant vaut \(\det(M_2) = 2 \times 4 - 3 \times 3 = 8 - 9 = -1 \neq 0\). L'existence d'un mineur d'ordre 2 non nul implique \(\operatorname{rank}(A) \ge 2\). Pour \(n \ge 2\), on combine les inégalités : \(2 \le \operatorname{rank}(A) \le 2 \Rightarrow \operatorname{rank}(A) = 2\). 3) Cas particulier \(n = 1\) : \(A = [1+1] = [2]\). La matrice est non nulle, donc \(\operatorname{rank}(A) = 1\). Vérification numérique (outil Python) : ```python import numpy as np for n in range(1, 6): A = np.array([[i+j for j in range(1, n+1)] for i in range(1, n+1)]) print(f"n={n}, rank={np.linalg.matrix_rank(A)}") ``` Sortie : n=1, rank=1 n=2, rank=2 n=3, rank=2 n=4, rank=2 n=5, rank=2 Concorde avec l'analyse analytique. Résultat final : \(\operatorname{rank}(A) = \begin{cases} 1 & \text{si } n = 1 \\ 2 & \text{si } n \ge 2 \end{cases}\)