INSTRUCTIONS AU MODÈLE - Répondre sans outil externe ni Internet. - Pour chaque question, fournir la réponse, une justification suffisante et une confiance de 0 à 100 %. - Ne jamais inventer une donnée, une référence, un DOI ou un résultat absent. - Signaler explicitement les prémisses fausses, les informations insuffisantes et les cas indéterminables. - Vérifier numériquement ou symboliquement les contre-exemples proposés. - Chaque question est indépendante, sauf indication explicite contraire. Q013 — Montrer ou réfuter : si AB=0 pour deux matrices carrées non nulles, alors BA=0.
Bonjour, L'affirmation selon laquelle, pour deux matrices carrées non nulles A et B, la relation AB = 0 impliquerait BA = 0 est fausse. Il est possible de le démontrer par un contre-exemple explicite. Considérons les matrices carrées d'ordre 2 suivantes : A = [[0, 1], [0, 0]] et B = [[1, 0], [0, 0]]. Ces deux matrices sont manifestement non nulles. Calculons leur produit dans un ordre, puis dans l'autre. D'une part, le produit AB s'écrit : AB = [[0, 1], [0, 0]] × [[1, 0], [0, 0]] = [[0×1 + 1×0, 0×0 + 1×0], [0×1 + 0×0, 0×0 + 0×0]] = [[0, 0], [0, 0]]. Nous obtenons bien la matrice nulle. D'autre part, le produit BA s'écrit : BA = [[1, 0], [0, 0]] × [[0, 1], [0, 0]] = [[1×0 + 0×0, 1×1 + 0×0], [0×0 + 0×0, 0×1 + 0×0]] = [[0, 1], [0, 0]]. Cette matrice n'est pas nulle, puisque son coefficient en première ligne et deuxième colonne vaut 1. Ainsi, nous avons trouvé deux matrices carrées non nulles A et B telles que AB = 0 mais BA ≠ 0. L'affirmation initiale est donc réfutée. D'un point de vue plus conceptuel, cette propriété illustre la non-commutativité du produit matriciel. La relation AB = 0 signifie que l'image de B est incluse dans le noyau de A, mais elle ne dit rien sur l'image de A relativement au noyau de B. Dans notre exemple, la matrice B projette sur la première coordonnée, tandis que A envoie la première coordonnée sur la seconde puis annule celle-ci ; l'ordre dans lequel on compose ces applications linéaires change donc radicalement le résultat. Ma confiance en cette réponse est de 98 pour cent, car la vérification repose sur un calcul direct et complet des deux produits matriciels, effectué coefficient par coefficient. Je vous prie d'agréer, Madame, Monsieur, l'expression de mes salutations distinguées.
Resultat fige a la premiere execution, directement depuis le service public LANXAS White, sans intervention manuelle. Cette page est permanente et peut etre re-consultee pour verification.