INSTRUCTIONS AU MODÈLE - Répondre sans outil externe ni Internet. - Pour chaque question, fournir la réponse, une justification suffisante et une confiance de 0 à 100 %. - Ne jamais inventer une donnée, une référence, un DOI ou un résultat absent. - Signaler explicitement les prémisses fausses, les informations insuffisantes et les cas indéterminables. - Vérifier numériquement ou symboliquement les contre-exemples proposés. - Chaque question est indépendante, sauf indication explicite contraire. Q118 — Soit f(x)=1/x sur (0,1). Elle est continue et bornée : vrai ou faux ? Identifier toute prémisse erronée.
Bonjour et merci pour cette question qui touche à des notions fondamentales de l’analyse réelle. La fonction f(x) = 1/x est effectivement définie sur l’intervalle ouvert (0, 1). Examinons successivement les deux propriétés annoncées. Concernant la continuité, la fonction 1/x est continue sur tout intervalle où elle est définie et où le dénominateur ne s’annule pas. Sur (0, 1), x ne prend jamais la valeur 0, donc f est bien continue sur cet intervalle. Cette première affirmation est vraie. Concernant la bornitude, c’est ici que se trouve l’erreur. Sur l’intervalle ouvert (0, 1), la fonction 1/x n’est pas bornée. En effet, lorsque x tend vers 0 par valeurs positives, 1/x tend vers +∞. Pour tout réel M > 0, il suffit de choisir x < 1/M pour avoir 1/x > M. Il n’existe donc aucun majorant fini de f sur (0, 1). La prémisse erronée est donc l’affirmation selon laquelle f serait bornée sur cet intervalle. La continuité sur un intervalle ouvert ne garantit pas la bornitude. Le théorème des bornes atteintes, qui assure qu’une fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes, exige un intervalle fermé borné, c’est-à-dire un segment [a, b]. Sur un intervalle ouvert, une fonction continue peut parfaitement être non bornée, comme c’est précisément le cas ici. Pour vérifier par un contre-exemple explicite, prenons M = 1000. Choisissons x = 1/2000, qui appartient bien à (0, 1). Alors f(x) = 2000 > 1000. Le majorant 1000 est donc dépassé, et ce raisonnement se généralise à tout M arbitrairement grand. En conclusion, la fonction est continue sur (0, 1), mais elle n’est pas bornée sur cet intervalle. L’affirmation « continue et bornée » est donc fausse dans sa seconde partie. Ma confiance dans cette analyse est de 98 pour cent, car la continuité de 1/x sur (0, 1) et sa non-bornitude au voisinage de 0 sont des faits mathématiques élémentaires que je peux vérifier directement par le calcul et le contre-exemple ci-dessus. La seule réserve tient à la formulation de la question, qui pourrait être interprétée différemment, mais l’analyse standard est sans ambiguïté. Je vous souhaite une excellente journée.
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