INSTRUCTIONS AU MODÈLE - Répondre sans outil externe ni Internet. - Pour chaque question, fournir la réponse, une justification suffisante et une confiance de 0 à 100 %. - Ne jamais inventer une donnée, une référence, un DOI ou un résultat absent. - Signaler explicitement les prémisses fausses, les informations insuffisantes et les cas indéterminables. - Vérifier numériquement ou symboliquement les contre-exemples proposés. - Chaque question est indépendante, sauf indication explicite contraire. Q112 — Construire deux polynômes en n qui valent 3,5,9,15 pour n=1,2,3,4 mais donnent des valeurs différentes en n=5.
Bonjour, Pour répondre à votre question, je vais construire deux polynômes en \(n\) qui prennent les valeurs 3, 5, 9, 15 pour \(n=1,2,3,4\) mais donnent des valeurs différentes en \(n=5\). **Premier polynôme** Considérons un polynôme du second degré \(P(n) = an^2 + bn + c\). Les conditions pour \(n=1,2,3,4\) donnent le système suivant : - Pour \(n=1\) : \(a + b + c = 3\) - Pour \(n=2\) : \(4a + 2b + c = 5\) - Pour \(n=3\) : \(9a + 3b + c = 9\) - Pour \(n=4\) : \(16a + 4b + c = 15\) En soustrayant la première équation des trois autres, on obtient : - \(3a + b = 2\) - \(8a + 2b = 6\), soit \(4a + b = 3\) - \(15a + 3b = 12\), soit \(5a + b = 4\) De \(3a + b = 2\) et \(4a + b = 3\), on déduit \(a = 1\). Ensuite, \(b = 2 - 3 = -1\), puis \(c = 3 - a - b = 3 - 1 + 1 = 3\). Ainsi, \(P(n) = n^2 - n + 3\). Vérifions les valeurs : pour \(n=1\), \(1 - 1 + 3 = 3\) ; pour \(n=2\), \(4 - 2 + 3 = 5\) ; pour \(n=3\), \(9 - 3 + 3 = 9\) ; pour \(n=4\), \(16 - 4 + 3 = 15\). En \(n=5\), \(P(5) = 25 - 5 + 3 = 23\). **Deuxième polynôme** Pour obtenir un second polynôme qui coïncide avec \(P\) sur \(n=1,2,3,4\) mais diffère en \(n=5\), on peut ajouter un terme qui s'annule en ces quatre points. Le polynôme \((n-1)(n-2)(n-3)(n-4)\) s'annule précisément pour \(n=1,2,3,4\). On définit donc : \[ R(n) = n^2 - n + 3 + (n-1)(n-2)(n-3)(n-4) \] Pour \(n=1,2,3,4\), le terme ajouté est nul, donc \(R(n) = P(n)\). Pour \(n=5\), on a \((5-1)(5-2)(5-3)(5-4) = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\), d'où \(R(5) = 23 + 24 = 47\). **Vérification explicite** - \(R(1) = 3 + 0 = 3\) - \(R(2) = 5 + 0 = 5\) - \(R(3) = 9 + 0 = 9\) - \(R(4) = 15 + 0 = 15\) - \(R(5) = 23 + 24 = 47\) Les deux polynômes sont donc : - \(P(n) = n^2 - n + 3\), avec \(P(5) = 23\) - \(R(n) = n^2 - n + 3 + (n-1)(n-2)(n-3)(n-4)\), avec \(R(5) = 47\) Ils prennent les mêmes valeurs 3, 5, 9, 15 pour \(n=1,2,3,4\) mais des valeurs différentes en \(n=5\), à savoir 23 et 47. **Confiance : 98 %.** La construction est vérifiée point par point par substitution directe ; le calcul est entièrement déterministe et reproductible. Je vous souhaite une excellente journée.
Resultat fige a la premiere execution, directement depuis le service public LANXAS White, sans intervention manuelle. Cette page est permanente et peut etre re-consultee pour verification.