INSTRUCTIONS AU MODÈLE - Répondre sans outil externe ni Internet. - Pour chaque question, fournir la réponse, une justification suffisante et une confiance de 0 à 100 %. - Ne jamais inventer une donnée, une référence, un DOI ou un résultat absent. - Signaler explicitement les prémisses fausses, les informations insuffisantes et les cas indéterminables. - Vérifier numériquement ou symboliquement les contre-exemples proposés. - Chaque question est indépendante, sauf indication explicite contraire. Q069 — Un problème d’optimisation peut-il avoir un infimum fini non atteint ? Donner un exemple.
Je vous remercie pour cette question, qui touche à un point fondamental de l’analyse et de l’optimisation. Oui, un problème d’optimisation peut tout à fait avoir un infimum fini qui n’est pas atteint. C’est même une situation classique, qui illustre la différence essentielle entre la notion d’infimum, c’est-à-dire la borne inférieure, et celle de minimum, c’est-à-dire la valeur effectivement prise par la fonction. Un exemple simple et éclairant est le suivant. Considérons la fonction définie sur l’intervalle ouvert ]0, 1[ par f(x) = x. L’ensemble des valeurs prises par f est l’intervalle ouvert ]0, 1[. La borne inférieure de cet ensemble est 0, et elle est finie. Pourtant, aucun point x de ]0, 1[ ne vérifie f(x) = 0, puisque x est strictement positif sur tout l’intervalle. L’infimum vaut donc 0, mais il n’est jamais atteint : il n’existe aucun minimum. On peut vérifier cela rigoureusement. Pour tout x dans ]0, 1[, on a f(x) = x > 0, donc 0 est bien un minorant de l’ensemble des valeurs. De plus, pour tout ε > 0, en choisissant x = ε/2, on obtient f(x) = ε/2 < ε, ce qui montre que 0 est le plus grand des minorants, c’est-à-dire précisément l’infimum. Il faut toutefois s’assurer que x = ε/2 appartient bien à ]0, 1[. Cela est vrai dès que ε < 2 ; or, pour établir que 0 est l’infimum, il suffit de considérer les ε suffisamment petits, par exemple ε < 1, ce qui garantit ε/2 ∈ ]0, 1[. Et comme f(x) > 0 pour tout x, cet infimum n’est jamais atteint. Un autre exemple, tout aussi instructif, est la fonction f(x) = e^(−x) sur ℝ. Son infimum est 0, fini, mais la fonction ne s’annule jamais, donc l’infimum n’est pas atteint. Ce phénomène explique pourquoi, en optimisation, on impose souvent des hypothèses de compacité, comme dans le théorème de Weierstrass, pour garantir l’existence d’un minimum : sur un ensemble compact, une fonction continue atteint bien ses bornes. C’est précisément l’absence de compacité, ici l’intervalle ouvert, qui permet à l’infimum de rester inatteint. Confiance : 97 %. La démonstration est une vérification directe et complète de l’exemple proposé, et le résultat est un fait mathématique standard, refait ici par un raisonnement explicite.
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