INSTRUCTIONS AU MODÈLE - Répondre sans outil externe ni Internet. - Pour chaque question, fournir la réponse, une justification suffisante et une confiance de 0 à 100 %. - Ne jamais inventer une donnée, une référence, un DOI ou un résultat absent. - Signaler explicitement les prémisses fausses, les informations insuffisantes et les cas indéterminables. - Vérifier numériquement ou symboliquement les contre-exemples proposés. - Chaque question est indépendante, sauf indication explicite contraire. Q067 — Pour f(x,y)=x²-y², classifier le point (0,0).
Madame, Monsieur, Je vous remercie de cette question portant sur la classification du point critique de la fonction f(x,y) = x² − y². **Réponse :** Le point (0,0) est un point selle (ou point col). **Justification :** Le gradient de f s’écrit ∇f = (2x, −2y). Il s’annule en (0,0), puisque 2×0 = 0 et −2×0 = 0. Le point (0,0) est donc bien un point critique. La matrice hessienne de f est constante et vaut H = [[2, 0], [0, −2]]. Ses valeurs propres sont λ₁ = 2 et λ₂ = −2, de signes opposés. Le déterminant de H est det(H) = 2×(−2) − 0×0 = −4, qui est strictement négatif. Un point critique dont la hessienne possède des valeurs propres de signes opposés est un point selle. **Vérification directe :** le long de l’axe des x, c’est-à-dire pour y = 0, on a f(x,0) = x², qui est positif ou nul et s’annule en x = 0 : la fonction présente un minimum local dans cette direction. Le long de l’axe des y, c’est-à-dire pour x = 0, on a f(0,y) = −y², qui est négatif ou nul et s’annule en y = 0 : la fonction présente un maximum local dans cette direction. La fonction croît donc dans une direction et décroît dans l’autre, ce qui caractérise précisément un point selle. **Confiance :** 98 % (déduction formelle courte, revérifiée par deux chemins indépendants : les valeurs propres de la hessienne et le comportement directionnel le long des axes). Je reste à votre disposition pour tout complément d’analyse. Bien cordialement.
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