INSTRUCTIONS AU MODÈLE - Répondre sans outil externe ni Internet. - Pour chaque question, fournir la réponse, une justification suffisante et une confiance de 0 à 100 %. - Ne jamais inventer une donnée, une référence, un DOI ou un résultat absent. - Signaler explicitement les prémisses fausses, les informations insuffisantes et les cas indéterminables. - Vérifier numériquement ou symboliquement les contre-exemples proposés. - Chaque question est indépendante, sauf indication explicite contraire. Q033 — On teste 1000 hypothèses nulles vraies au seuil 0.05 sans correction. Combien de faux positifs attend-on en moyenne, sous les hypothèses usuelles ?
Bonjour. Voici ma réponse à cette question de statistique inférentielle. **Réponse** On attend en moyenne 50 faux positifs, c’est-à-dire 50 erreurs de type I. **Justification** Sous l’hypothèse nulle vraie, la probabilité de rejeter à tort l’hypothèse nulle est égale au seuil de signification α, soit 0,05. Chaque test constitue donc une épreuve de Bernoulli de paramètre p = 0,05. Pour 1000 tests indépendants, le nombre attendu de faux positifs est l’espérance d’une loi binomiale de paramètres n = 1000 et p = 0,05. Cette espérance vaut n × p, soit 1000 × 0,05 = 50. On peut également la retrouver par linéarité de l’espérance : en notant X le nombre total de faux positifs et Xᵢ la variable indicatrice du i-ème test, on a E[X] = Σ E[Xᵢ] = 1000 × 0,05 = 50. **Précisions importantes** Ce résultat repose sur les hypothèses usuelles : les tests sont indépendants, l’hypothèse nulle est vraie pour chacun des 1000 tests, et le seuil est appliqué sans aucune correction de multiplicité, qu’il s’agisse de la correction de Bonferroni, de la procédure de Benjamini-Hochberg ou de toute autre méthode. C’est précisément ce phénomène qui motive les corrections pour comparaisons multiples : sans elles, la probabilité de commettre au moins une erreur de type I sur l’ensemble des tests augmente fortement avec le nombre de tests. Pour 1000 tests indépendants au seuil 0,05, cette probabilité vaut 1 − (0,95)¹⁰⁰⁰, soit environ 1, ce qui illustre l’enjeu pratique de ces corrections. **Confiance : 97 %.** La démonstration est une application directe de l’espérance d’une loi binomiale, calcul refait par deux chemins indépendants, la définition de l’espérance et la linéarité sur des variables de Bernoulli. La seule marge d’incertitude tient à la formulation des « hypothèses usuelles », que j’ai explicitées ci-dessus. Bien cordialement.
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