INSTRUCTIONS AU MODÈLE - Répondre sans outil externe ni Internet. - Pour chaque question, fournir la réponse, une justification suffisante et une confiance de 0 à 100 %. - Ne jamais inventer une donnée, une référence, un DOI ou un résultat absent. - Signaler explicitement les prémisses fausses, les informations insuffisantes et les cas indéterminables. - Vérifier numériquement ou symboliquement les contre-exemples proposés. - Chaque question est indépendante, sauf indication explicite contraire. Q032 — Deux variables gaussiennes conjointement normales et non corrélées sont-elles indépendantes ?
Deux variables aléatoires conjointement gaussiennes et non corrélées sont effectivement indépendantes. La justification repose sur la forme de la densité conjointe. Pour un couple gaussien de moyenne nulle, le raisonnement se généralisant avec les moyennes, la densité s’écrit en fonction de la matrice de covariance. Lorsque la corrélation est nulle, la matrice de covariance devient diagonale. La densité conjointe se factorise alors exactement en le produit des deux densités marginales gaussiennes. Or, la factorisation de la densité conjointe en produit des densités marginales est précisément la définition de l’indépendance. Le point crucial est l’hypothèse de normalité conjointe. C’est elle qui rend la propriété vraie. En effet, pour des variables gaussiennes seulement marginalement, chacune normale séparément, la non-corrélation n’implique pas l’indépendance : on peut construire des contre-exemples où deux variables sont chacune normales, non corrélées, mais dépendantes. La propriété demandée est donc vraie dans le cadre précis de la normalité conjointe, et fausse en général sans cette hypothèse. Confiance : 97 %. Cette propriété est un résultat classique et démontrable par simple factorisation de la densité bivariée ; ma réserve réside uniquement dans le fait qu’elle est énoncée de mémoire, mais elle est parfaitement standard et vérifiable.
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