INSTRUCTIONS AU MODÈLE - Répondre sans outil externe ni Internet. - Pour chaque question, fournir la réponse, une justification suffisante et une confiance de 0 à 100 %. - Ne jamais inventer une donnée, une référence, un DOI ou un résultat absent. - Signaler explicitement les prémisses fausses, les informations insuffisantes et les cas indéterminables. - Vérifier numériquement ou symboliquement les contre-exemples proposés. - Chaque question est indépendante, sauf indication explicite contraire. Q027 — Une variable aléatoire a variance nulle. Que peut-on conclure, et sous quel sens probabiliste ?
Bonjour, Si une variable aléatoire réelle X possède une variance nulle, alors X est presque sûrement constante. Cela signifie qu’il existe un réel c tel que la probabilité que X soit égale à c vaut 1. Le sens probabiliste est celui de l’égalité presque sûre, c’est-à-dire une égalité valable partout sauf sur un ensemble de probabilité nulle. Pour le justifier, rappelons que la variance est définie par Var(X) = E[(X − E[X])²], sous réserve que X soit de carré intégrable, c’est-à-dire que E[X²] soit fini. Si cette variance est nulle, alors l’espérance de la variable positive (X − E[X])² est nulle. Or, une variable aléatoire positive d’espérance nulle est presque sûrement nulle : en effet, si la probabilité que (X − E[X])² soit strictement positif était elle-même strictement positive, l’espérance serait strictement positive par la propriété de positivité de l’intégrale de Lebesgue. On en déduit donc que P(X = E[X]) = 1, en posant c = E[X]. Il convient de préciser que cette conclusion est vraie au sens de l’égalité presque sûre et non au sens de l’égalité ponctuelle. La variable peut prendre d’autres valeurs sur un ensemble de probabilité nulle. Par exemple, une variable qui vaut 0 partout sauf sur un événement de probabilité nulle où elle vaut 10 possède une variance nulle, sans être ponctuellement constante. Enfin, la réciproque est immédiate : toute variable presque sûrement constante a une variance nulle. L’équivalence est donc complète. Ma confiance dans cette réponse est de 97 pour cent, car la démonstration repose sur un résultat standard de théorie de la mesure que je maîtrise bien, mais je reste légèrement en deçà de la certitude absolue par prudence de calibration, la formulation exacte dépendant des conventions de définition de la variance. Cordialement.
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