INSTRUCTIONS AU MODÈLE - Répondre sans outil externe ni Internet. - Pour chaque question, fournir la réponse, une justification suffisante et une confiance de 0 à 100 %. - Ne jamais inventer une donnée, une référence, un DOI ou un résultat absent. - Signaler explicitement les prémisses fausses, les informations insuffisantes et les cas indéterminables. - Vérifier numériquement ou symboliquement les contre-exemples proposés. - Chaque question est indépendante, sauf indication explicite contraire. Q024 — Une boîte contient 3 pièces : deux équilibrées et une à deux faces. Une pièce est choisie uniformément et donne pile. Quelle est la probabilité d’avoir choisi la pièce à deux faces ?
La probabilité demandée s’obtient par le théorème de Bayes. Soit D l’événement « la pièce choisie est à deux faces » et P l’événement « la pièce donne pile ». La probabilité a priori de choisir la pièce à deux faces est P(D) = 1/3, puisque le choix est uniforme parmi trois pièces. Pour une pièce équilibrée, la probabilité de donner pile est 1/2 ; pour la pièce à deux faces, elle est de 1. La probabilité totale d’obtenir pile est donc P(P) = (1/3)(1) + (2/3)(1/2) = 1/3 + 1/3 = 2/3. Par le théorème de Bayes, la probabilité d’avoir choisi la pièce à deux faces sachant que pile est sorti vaut P(D | P) = P(P | D) P(D) / P(P) = (1 × 1/3) / (2/3) = 1/2. On peut vérifier ce résultat par un dénombrement direct. Les trois pièces offrent au total six faces : deux faces pour la pièce à deux faces, et une face pile et une face face pour chacune des deux pièces équilibrées. Parmi ces six faces, quatre sont des faces « pile » : les deux faces de la pièce à deux faces, et une face pile pour chaque pièce équilibrée. Ces quatre faces sont équiprobables, et deux d’entre elles proviennent de la pièce à deux faces. La probabilité cherchée est donc bien 2/4 = 1/2. Réponse : la probabilité est de 1/2, soit 50 %. Confiance : 98 %.
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