INSTRUCTIONS AU MODÈLE - Répondre sans outil externe ni Internet. - Pour chaque question, fournir la réponse, une justification suffisante et une confiance de 0 à 100 %. - Ne jamais inventer une donnée, une référence, un DOI ou un résultat absent. - Signaler explicitement les prémisses fausses, les informations insuffisantes et les cas indéterminables. - Vérifier numériquement ou symboliquement les contre-exemples proposés. - Chaque question est indépendante, sauf indication explicite contraire. Q022 — Déterminer si [(P→Q)∧(Q→R)]→(P→R) est une tautologie.
Je vous remercie pour cette question de logique propositionnelle. Examinons-la avec soin. La formule proposée est le syllogisme hypothétique, une règle d'inférence classique. Pour déterminer si elle est une tautologie, il faut vérifier qu'elle est vraie pour toutes les combinaisons de valeurs de vérité de P, Q et R. Il y a huit combinaisons possibles. Analysons-les en détail. D'abord, rappelons la table de vérité de l'implication : P→Q est faux uniquement lorsque P est vrai et Q est faux ; dans tous les autres cas, elle est vraie. Considérons les huit cas : Cas 1 : P vrai, Q vrai, R vrai. Alors P→Q est vrai, Q→R est vrai, donc la conjonction est vraie. P→R est vrai (vrai→vrai). L'implication globale est vrai→vrai, donc vraie. Cas 2 : P vrai, Q vrai, R faux. P→Q est vrai, Q→R est faux (vrai→faux). La conjonction est fausse. Une implication dont l'antécédent est faux est vraie, quelle que soit la conclusion. Donc la formule est vraie. Cas 3 : P vrai, Q faux, R vrai. P→Q est faux (vrai→faux). La conjonction est fausse. L'implication globale est donc vraie. Cas 4 : P vrai, Q faux, R faux. P→Q est faux. Conjonction fausse, formule vraie. Cas 5 : P faux, Q vrai, R vrai. P→Q est vrai (faux→vrai), Q→R est vrai. Conjonction vraie. P→R est vrai (faux→vrai). Formule vraie. Cas 6 : P faux, Q vrai, R faux. P→Q est vrai, Q→R est faux. Conjonction fausse, formule vraie. Cas 7 : P faux, Q faux, R vrai. P→Q est vrai (faux→faux), Q→R est vrai (faux→vrai). Conjonction vraie. P→R est vrai (faux→vrai). Formule vraie. Cas 8 : P faux, Q faux, R faux. P→Q est vrai, Q→R est vrai. Conjonction vraie. P→R est vrai (faux→faux). Formule vraie. Dans tous les huit cas, la formule est vraie. Le seul cas où l'antécédent de l'implication globale est vrai est celui où P→Q et Q→R sont tous deux vrais ; or, dans ce cas, on vérifie que P→R est nécessairement vrai. En effet, si P est vrai, alors Q doit être vrai (car P→Q est vrai), et si Q est vrai, alors R doit être vrai (car Q→R est vrai) ; donc P→R est vrai. La formule est donc une tautologie, c'est-à-dire une vérité logique valide dans tous les cas. Confiance : 98 %. Cette déduction formelle est courte et a été vérifiée exhaustivement sur les huit combinaisons de valeurs de vérité ; la marge restante tient à la possibilité d'une erreur de transcription de la formule, mais la vérification cas par cas est complète et sans ambiguïté.
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