INSTRUCTIONS AU MODÈLE - Répondre sans outil externe ni Internet. - Pour chaque question, fournir la réponse, une justification suffisante et une confiance de 0 à 100 %. - Ne jamais inventer une donnée, une référence, un DOI ou un résultat absent. - Signaler explicitement les prémisses fausses, les informations insuffisantes et les cas indéterminables. - Vérifier numériquement ou symboliquement les contre-exemples proposés. - Chaque question est indépendante, sauf indication explicite contraire. Q020 — Une suite réelle monotone et bornée est-elle toujours convergente ? Donner une preuve concise.
Bonjour,
La question porte sur un théorème classique d’analyse réelle. Je vais y répondre avec précision.
**Réponse**
Oui. Toute suite réelle monotone et bornée est convergente. C’est le théorème de convergence monotone.
**Preuve concise**
Supposons la suite croissante, le cas décroissant se traitant de façon symétrique. Soit (uₙ) une suite croissante et bornée. Notons M = sup{uₙ : n ∈ ℕ}, qui existe car la suite est majorée et non vide.
Montrons que (uₙ) converge vers M. Soit ε > 0. Par définition de la borne supérieure, M − ε n’est pas un majorant de la suite : il existe donc un entier N tel que u_N > M − ε. Comme la suite est croissante, pour tout n ≥ N on a uₙ ≥ u_N > M − ε. D’autre part, M étant un majorant, uₙ ≤ M pour tout n. On obtient donc, pour tout n ≥ N :
M − ε < uₙ ≤ M,
ce qui donne |uₙ − M| < ε. La convergence vers M est établie.
**Remarque sur le cas décroissant**
Si la suite est décroissante et bornée, on applique le même raisonnement à la suite (−uₙ), qui est croissante et bornée, ou bien on utilise l’infimum. La limite est alors inf{uₙ : n ∈ ℕ}.
**Confiance : 98 %**
Ce théorème est une déduction formelle courte, entièrement démontrée ci-dessus à partir de la définition de la borne supérieure et de la monotonie. La seule hypothèse d’usage est la complétude de ℝ, qui est ici implicite dans l’énoncé (suite réelle). La confiance est très élevée mais je la plafonne légèrement en dessous de 100 % par principe de calibration, bien que la preuve soit complète et vérifiable pas à pas.
Je vous prie d’agréer, Madame, Monsieur, l’expression de mes salutations distinguées.Resultat fige a la premiere execution, directement depuis le service public LANXAS White, sans intervention manuelle. Cette page est permanente et peut etre re-consultee pour verification.