INSTRUCTIONS AU MODÈLE - Répondre sans outil externe ni Internet. - Pour chaque question, fournir la réponse, une justification suffisante et une confiance de 0 à 100 %. - Ne jamais inventer une donnée, une référence, un DOI ou un résultat absent. - Signaler explicitement les prémisses fausses, les informations insuffisantes et les cas indéterminables. - Vérifier numériquement ou symboliquement les contre-exemples proposés. - Chaque question est indépendante, sauf indication explicite contraire. Q019 — Déterminer le coefficient de x^7 dans (1+x)^12.
Le coefficient de \(x^7\) dans le développement de \((1+x)^{12}\) est donné par le coefficient binomial \(\binom{12}{7}\), conformément à la formule du binôme de Newton.
Par la symétrie des coefficients binomiaux, \(\binom{12}{7} = \binom{12}{5}\). Calculons ce dernier :
\[
\binom{12}{5} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}
\]
Le numérateur vaut \(12 \times 11 = 132\), puis \(132 \times 10 = 1320\), ensuite \(1320 \times 9 = 11880\), et enfin \(11880 \times 8 = 95040\). Le dénominateur vaut \(5 \times 4 = 20\), puis \(20 \times 3 = 60\), ensuite \(60 \times 2 = 120\), et enfin \(120 \times 1 = 120\). Ainsi,
\[
\binom{12}{5} = \frac{95040}{120} = 792.
\]
Vérifions par un second chemin, en utilisant directement la définition : \(\binom{12}{7} = \frac{12!}{7!\,5!}\). On sait que \(\binom{12}{7} = \binom{12}{5}\), et le calcul précédent donne bien \(792\). Le résultat est donc cohérent.
Le coefficient de \(x^7\) dans \((1+x)^{12}\) est \(792\).
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