INSTRUCTIONS AU MODÈLE - Répondre sans outil externe ni Internet. - Pour chaque question, fournir la réponse, une justification suffisante et une confiance de 0 à 100 %. - Ne jamais inventer une donnée, une référence, un DOI ou un résultat absent. - Signaler explicitement les prémisses fausses, les informations insuffisantes et les cas indéterminables. - Vérifier numériquement ou symboliquement les contre-exemples proposés. - Chaque question est indépendante, sauf indication explicite contraire. Q018 — Combien existe-t-il de surjections d’un ensemble à 4 éléments vers un ensemble à 2 éléments ? Justifier.
Je vous remercie pour cette question de combinatoire, que je vais traiter avec soin. **Réponse** Il existe 14 surjections d'un ensemble à 4 éléments vers un ensemble à 2 éléments. **Justification** Soit E un ensemble à 4 éléments et F un ensemble à 2 éléments. Une application de E vers F est une fonction qui associe à chaque élément de E un élément de F. Elle est surjective si chaque élément de F possède au moins un antécédent. Le nombre total d'applications de E vers F est 2⁴ = 16, puisque chacun des 4 éléments de E peut être envoyé sur l'un des 2 éléments de F. Parmi ces 16 applications, lesquelles ne sont pas surjectives ? Une application de E vers F n'est pas surjective si elle n'atteint pas l'un des deux éléments de F, c'est-à-dire si tous les éléments de E sont envoyés sur le même élément. Il y a exactement 2 telles applications : celle qui envoie tout sur le premier élément, et celle qui envoie tout sur le second. Par soustraction, le nombre de surjections est donc 16 − 2 = 14. **Vérification par une autre voie** On peut aussi compter directement. Une surjection vers un ensemble à 2 éléments correspond au choix du sous-ensemble de E envoyé sur le premier élément, à condition que ce sous-ensemble ne soit ni vide ni égal à E tout entier (sinon l'autre élément n'aurait pas d'antécédent). Le nombre de sous-ensembles propres non vides de E est 2⁴ − 2 = 14, ce qui confirme le résultat. **Confiance : 98 %** Cette confiance est élevée car le raisonnement est une déduction formelle courte, vérifiée par deux chemins indépendants (soustraction du total et comptage direct des sous-ensembles), qui aboutissent au même résultat. Je reste à votre disposition pour toute précision.
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