INSTRUCTIONS AU MODÈLE - Répondre sans outil externe ni Internet. - Pour chaque question, fournir la réponse, une justification suffisante et une confiance de 0 à 100 %. - Ne jamais inventer une donnée, une référence, un DOI ou un résultat absent. - Signaler explicitement les prémisses fausses, les informations insuffisantes et les cas indéterminables. - Vérifier numériquement ou symboliquement les contre-exemples proposés. - Chaque question est indépendante, sauf indication explicite contraire. Q017 — Prouver que sqrt(3) est irrationnel.
Bonjour, et merci pour cette question classique de théorie des nombres. **Réponse.** Le nombre sqrt(3) est irrationnel. **Justification.** On procède par l'absurde, en supposant que sqrt(3) est rationnel. Il existe alors deux entiers naturels p et q, premiers entre eux (fraction irréductible), avec q non nul, tels que : sqrt(3) = p/q. En élevant au carré, on obtient : 3 = p²/q², soit p² = 3 q². Cette égalité montre que 3 divise p². Comme 3 est un nombre premier, le lemme d'Euclide garantit que si un nombre premier divise un produit, il divise l'un des facteurs ; donc 3 divise p. Il existe ainsi un entier k tel que p = 3k. En substituant dans l'égalité précédente : (3k)² = 3 q², soit 9k² = 3 q², d'où q² = 3 k². Par le même raisonnement, 3 divise q², donc 3 divise q. Ainsi, 3 divise à la fois p et q, ce qui contredit l'hypothèse que p et q sont premiers entre eux. La supposition initiale est donc fausse, et sqrt(3) est irrationnel. **Vérification du contre-exemple implicite.** On peut confirmer la cohérence du résultat par le calcul : sqrt(3) ≈ 1,732050808, valeur non périodique, cohérente avec l'irrationalité. Le raisonnement repose sur le fait que 3 est premier, ce qui est exact (ses seuls diviseurs positifs sont 1 et 3). **Confiance.** 98 %. La démonstration est une déduction formelle courte, entièrement revérifiée, et ne repose sur aucune donnée externe ; la seule marge réside dans la formulation du lemme d'Euclide, résultat standard parfaitement établi. Avec mes salutations distinguées.
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