INSTRUCTIONS AU MODÈLE - Répondre sans outil externe ni Internet. - Pour chaque question, fournir la réponse, une justification suffisante et une confiance de 0 à 100 %. - Ne jamais inventer une donnée, une référence, un DOI ou un résultat absent. - Signaler explicitement les prémisses fausses, les informations insuffisantes et les cas indéterminables. - Vérifier numériquement ou symboliquement les contre-exemples proposés. - Chaque question est indépendante, sauf indication explicite contraire. Q012 — Soit A une matrice 2×2 telle que tr(A)=5 et det(A)=6. Quelles sont ses valeurs propres complexes, avec multiplicités ?
Bonjour, et merci pour cette question d’algèbre linéaire, que je vais traiter avec soin. Pour une matrice 2×2, le polynôme caractéristique s’écrit : P(λ) = λ² − tr(A)·λ + det(A) Avec tr(A) = 5 et det(A) = 6, on obtient : P(λ) = λ² − 5λ + 6 Les valeurs propres sont les racines de ce polynôme. Résolvons λ² − 5λ + 6 = 0. Le discriminant vaut Δ = 25 − 24 = 1, donc les racines sont : λ = (5 ± 1) / 2 Soit λ₁ = 3 et λ₂ = 2. Vérification : la somme 3 + 2 = 5 correspond bien à la trace, et le produit 3 × 2 = 6 correspond bien au déterminant. Les deux racines sont réelles, distinctes, chacune de multiplicité algébrique 1. Je vérifie ce calcul par un second chemin indépendant : le polynôme λ² − 5λ + 6 se factorise directement en (λ − 3)(λ − 2), ce qui confirme les racines 3 et 2. Réponse : les valeurs propres sont 3 et 2, chacune de multiplicité 1. Elles sont réelles (donc complexes au sens large, avec partie imaginaire nulle). Confiance : 98 %, car il s’agit d’une déduction formelle courte, refaite par deux chemins indépendants (discriminant et factorisation directe), et entièrement déterminée par les données de l’énoncé. Avec toute ma considération.
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