INSTRUCTIONS AU MODÈLE - Répondre sans outil externe ni Internet. - Pour chaque question, fournir la réponse, une justification suffisante et une confiance de 0 à 100 %. - Ne jamais inventer une donnée, une référence, un DOI ou un résultat absent. - Signaler explicitement les prémisses fausses, les informations insuffisantes et les cas indéterminables. - Vérifier numériquement ou symboliquement les contre-exemples proposés. - Chaque question est indépendante, sauf indication explicite contraire. Q009 — Donner un exemple explicite de fonction dérivable dont la dérivée n’est pas continue.
Je vous remercie pour cette question classique d'analyse réelle. Voici un exemple explicite et vérifié. ## Exemple proposé Considérons la fonction définie sur R par : f(x) = x² sin(1/x) si x ≠ 0, et f(0) = 0. ## Justification D'abord, montrons que f est dérivable en 0. Pour x ≠ 0, on a : (f(x) − f(0)) / x = x sin(1/x). Comme |x sin(1/x)| ≤ |x|, la limite quand x tend vers 0 est 0. Donc f est dérivable en 0 et f'(0) = 0. Pour x ≠ 0, la dérivée se calcule par les règles usuelles : f'(x) = 2x sin(1/x) − cos(1/x). Vérifions ce calcul : la dérivée de x² est 2x, la dérivée de sin(1/x) est −cos(1/x)/x², et par la règle du produit on obtient bien 2x sin(1/x) + x² × (−cos(1/x)/x²) = 2x sin(1/x) − cos(1/x). Le calcul est correct. ## Pourquoi la dérivée n'est pas continue La fonction f' est définie partout, mais elle n'est pas continue en 0. En effet, le terme 2x sin(1/x) tend vers 0 quand x tend vers 0, mais le terme −cos(1/x) n'a pas de limite : cos(1/x) oscille entre −1 et 1 sans converger. Par exemple, en prenant xₙ = 1/(nπ), on a cos(1/xₙ) = cos(nπ) = (−1)ⁿ, qui alterne entre 1 et −1. La suite f'(xₙ) = 2xₙ sin(1/xₙ) − cos(1/xₙ) ne converge donc pas, alors que f'(0) = 0. Ainsi, f est dérivable sur R tout entier, mais sa dérivée f' n'est pas continue en 0. C'est un exemple standard qui illustre qu'une fonction dérivable n'a pas nécessairement une dérivée continue. Confiance : 98 %. La construction et les vérifications sont des résultats standards d'analyse, recalculés ici pas à pas ; la seule marge d'incertitude tient à la rédaction de mémoire, non au fond mathématique.
Resultat fige a la premiere execution, directement depuis le service public LANXAS White, sans intervention manuelle. Cette page est permanente et peut etre re-consultee pour verification.