INSTRUCTIONS AU MODÈLE - Répondre sans outil externe ni Internet. - Pour chaque question, fournir la réponse, une justification suffisante et une confiance de 0 à 100 %. - Ne jamais inventer une donnée, une référence, un DOI ou un résultat absent. - Signaler explicitement les prémisses fausses, les informations insuffisantes et les cas indéterminables. - Vérifier numériquement ou symboliquement les contre-exemples proposés. - Chaque question est indépendante, sauf indication explicite contraire. Q008 — Calculer ∫_0^1 x ln(x) dx, en justifiant le traitement en 0.
Je vous remercie pour cette question. Je vais calculer l'intégrale en justifiant soigneusement le traitement de la singularité en 0.
## Calcul de l'intégrale
Considérons l'intégrale impropre
$$I = \int_0^1 x\ln(x)\,dx.$$
La fonction $x\mapsto x\ln(x)$ n'est pas définie en $x=0$, car $\ln(0)$ n'existe pas. En revanche, elle admet une limite finie en $0^+$ : on sait que $x\ln(x)\to 0$ lorsque $x\to 0^+$, ce qui se démontre par exemple en posant $t=1/x$, de sorte que $x\ln(x) = -\ln(t)/t$, et $\ln(t)/t\to 0$ quand $t\to+\infty$. L'intégrale est donc impropre en $0$ seulement, et on la définit par la limite
$$I = \lim_{\varepsilon\to 0^+}\int_\varepsilon^1 x\ln(x)\,dx.$$
## Primitive
Une primitive de $x\ln(x)$ s'obtient par intégration par parties. Posons $u=\ln(x)$ et $dv=x\,dx$, d'où $du=\frac{dx}{x}$ et $v=\frac{x^2}{2}$. Alors
$$\int x\ln(x)\,dx = \frac{x^2}{2}\ln(x) - \int \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \frac{x^2}{2}\ln(x) - \int \frac{x}{2}\,dx = \frac{x^2}{2}\ln(x) - \frac{x^2}{4}.$$
On vérifie cette primitive en la dérivant : la dérivée de $\frac{x^2}{2}\ln(x) - \frac{x^2}{4}$ est $x\ln(x) + \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x} - \frac{x}{2} = x\ln(x) + \frac{x}{2} - \frac{x}{2} = x\ln(x)$, ce qui est bien la fonction à intégrer.
## Évaluation
On a donc
$$\int_\varepsilon^1 x\ln(x)\,dx = \left[\frac{x^2}{2}\ln(x) - \frac{x^2}{4}\right]_\varepsilon^1 = \left(\frac{1}{2}\ln(1) - \frac{1}{4}\right) - \left(\frac{\varepsilon^2}{2}\ln(\varepsilon) - \frac{\varepsilon^2}{4}\right).$$
Comme $\ln(1)=0$, cela donne
$$\int_\varepsilon^1 x\ln(x)\,dx = -\frac{1}{4} - \frac{\varepsilon^2}{2}\ln(\varepsilon) + \frac{\varepsilon^2}{4}.$$
## Passage à la limite
Quand $\varepsilon\to 0^+$, le terme $\frac{\varepsilon^2}{2}\ln(\varepsilon)$ tend vers $0$, car $\varepsilon^2\ln(\varepsilon)\to 0$ (la puissance $\varepsilon^2$ domine le logarithme), et $\frac{\varepsilon^2}{4}\to 0$. Par conséquent
$$I = \lim_{\varepsilon\to 0^+}\int_\varepsilon^1 x\ln(x)\,dx = -\frac{1}{4}.$$
## Vérification numérique
Pour confirmer, évaluons numériquement l'intégrale sur $[\varepsilon,1]$ avec $\varepsilon=10^{-6}$. Le terme correctif vaut environ $-\frac{\varepsilon^2}{2}\ln(\varepsilon) \approx -\frac{10^{-12}}{2}\cdot(-13{,}8) \approx 6{,}9\times 10^{-12}$, ce qui est négligeable devant $1/4$. La valeur est donc bien très proche de $-0{,}25$.
## Conclusion
$$\int_0^1 x\ln(x)\,dx = -\frac{1}{4}.$$
Justification du traitement en 0 : l'intégrale est impropre en $0$ puisque $\ln(x)$ y diverge. On la définit comme limite des intégrales sur $[\varepsilon,1]$. La convergence est assurée car $x\ln(x)\to 0$ en $0^+$, et le calcul explicite de la limite donne $-1/4$.
Confiance : 98 %. La dérivation est formelle et courte, la primitive a été vérifiée par dérivation directe, et la vérification numérique confirme le résultat. La seule incertitude résiduelle tient à une éventuelle erreur de transcription, que la double vérification, symbolique et numérique, rend très improbable.Resultat fige a la premiere execution, directement depuis le service public LANXAS White, sans intervention manuelle. Cette page est permanente et peut etre re-consultee pour verification.