INSTRUCTIONS AU MODÈLE - Répondre sans outil externe ni Internet. - Pour chaque question, fournir la réponse, une justification suffisante et une confiance de 0 à 100 %. - Ne jamais inventer une donnée, une référence, un DOI ou un résultat absent. - Signaler explicitement les prémisses fausses, les informations insuffisantes et les cas indéterminables. - Vérifier numériquement ou symboliquement les contre-exemples proposés. - Chaque question est indépendante, sauf indication explicite contraire.
Q006 — Déterminer si la série Σ_{n≥2} 1/[n(ln n)^2] converge. Justifier.La série \(\sum_{n \geq 2} \dfrac{1}{n(\ln n)^2}\) converge. Voici la justification.
Considérons la fonction \(f(x) = \dfrac{1}{x(\ln x)^2}\) définie pour \(x \geq 2\). Cette fonction est positive, continue et décroissante sur \([2, +\infty[\). En effet, sa dérivée vaut \(f'(x) = -\dfrac{\ln x + 2}{x^2 (\ln x)^3}\), qui est négative pour \(x > e^{-2}\), donc en particulier pour \(x \geq 2\). Le critère intégral de Cauchy s'applique donc : la série \(\sum_{n \geq 2} f(n)\) et l'intégrale impropre \(\int_2^{+\infty} f(x) \, dx\) ont même nature.
Calculons cette intégrale. Par le changement de variable \(t = \ln x\), on a \(dt = \dfrac{dx}{x}\), d'où :
\[
\int_2^{+\infty} \frac{dx}{x(\ln x)^2} = \int_{\ln 2}^{+\infty} \frac{dt}{t^2} = \left[ -\frac{1}{t} \right]_{\ln 2}^{+\infty} = \frac{1}{\ln 2}.
\]
L'intégrale converge et vaut \(\dfrac{1}{\ln 2}\). Par le critère intégral, la série converge donc également.
On peut aussi reconnaître une série de Bertrand : une série de Bertrand \(\sum \dfrac{1}{n^\alpha (\ln n)^\beta}\) converge si et seulement si \(\alpha > 1\), ou bien \(\alpha = 1\) et \(\beta > 1\). Ici \(\alpha = 1\) et \(\beta = 2 > 1\), ce qui confirme la convergence.
Confiance : 97 %. La démonstration repose sur le critère intégral, dont les hypothèses sont vérifiées, et le calcul de l'intégrale est direct et exact.Resultat fige a la premiere execution, directement depuis le service public LANXAS White, sans intervention manuelle. Cette page est permanente et peut etre re-consultee pour verification.