INSTRUCTIONS AU MODÈLE - Répondre sans outil externe ni Internet. - Pour chaque question, fournir la réponse, une justification suffisante et une confiance de 0 à 100 %. - Ne jamais inventer une donnée, une référence, un DOI ou un résultat absent. - Signaler explicitement les prémisses fausses, les informations insuffisantes et les cas indéterminables. - Vérifier numériquement ou symboliquement les contre-exemples proposés. - Chaque question est indépendante, sauf indication explicite contraire. Q004 — Une fonction continue f:[0,1]→[0,1] vérifie f(0)>0 et f(1)<1. Prouver qu’elle possède un point fixe.
Je vous remercie pour cette question classique d’analyse réelle. Voici la démonstration complète. Énoncé. Soit f une fonction continue de [0,1] dans [0,1], vérifiant f(0) > 0 et f(1) < 1. Montrer qu’il existe c dans [0,1] tel que f(c) = c. Démonstration. Considérons la fonction auxiliaire g définie sur [0,1] par g(x) = f(x) − x. La fonction g est continue sur [0,1], comme différence de deux fonctions continues. Évaluons g aux bornes de l’intervalle. D’une part, g(0) = f(0) − 0 = f(0) > 0 par hypothèse. D’autre part, g(1) = f(1) − 1 < 0 par hypothèse. Ainsi, g(0) > 0 et g(1) < 0. La fonction continue g prend donc des valeurs de signes opposés aux extrémités de l’intervalle. Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un réel c dans [0,1] tel que g(c) = 0. On en déduit f(c) − c = 0, c’est-à-dire f(c) = c. Le point c est donc un point fixe de f. Remarque. L’hypothèse f(0) > 0 et f(1) < 1 est en réalité superflue pour l’existence d’un point fixe : le théorème du point fixe de Brouwer en dimension 1 (ou le simple argument ci-dessus appliqué à g) garantit qu’une fonction continue de [0,1] dans lui-même possède toujours un point fixe, sans condition sur les valeurs aux bornes. En effet, si f(0) = 0 ou f(1) = 1, le point fixe est immédiat ; sinon, on retombe sur le cas où g(0) > 0 et g(1) < 0. Les hypothèses données sont donc suffisantes mais non nécessaires. Confiance : 98 %. La démonstration repose sur le théorème des valeurs intermédiaires, dont les hypothèses (continuité de g sur [0,1]) sont vérifiées, et sur la vérification explicite des signes aux bornes. La seule marge d’incertitude tient à la formulation, non au raisonnement lui-même, qui est une déduction formelle courte et complète.
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