Forme usuelle

Pour une estimation Monte-Carlo 
𝜃
^
𝐵
=
1
𝐵
∑
𝑏
=
1
𝐵
ℎ
(
𝑋
𝑏
)
θ
^
B
	​

=
B
1
	​

∑
b=1
B
	​

h(X
b
	​

) obtenue à partir de 
𝐵
B tirages i.i.d., l'intervalle de confiance normal approximatif à 95 % est :

I
C
95
%
=
[
𝜃
^
𝐵
−
1
,
96
𝜎
^
𝐵
𝐵
,
𝜃
^
𝐵
+
1
,
96
𝜎
^
𝐵
𝐵
]
IC
95%
	​

=[
θ
^
B
	​

−1,96
B
	​

σ
^
B
	​

	​

,
θ
^
B
	​

+1,96
B
	​

σ
^
B
	​

	​

]

soit, en écriture compacte, 
𝜃
^
𝐵
±
1
,
96
s
e
^
(
𝜃
^
𝐵
)
θ
^
B
	​

±1,96
se
(
θ
^
B
	​

) avec 
s
e
^
(
𝜃
^
𝐵
)
=
𝜎
^
𝐵
/
𝐵
se
(
θ
^
B
	​

)=
σ
^
B
	​

/
B
	​

.

où :

𝜃
^
𝐵
θ
^
B
	​

 : moyenne empirique des 
𝐵
B réplications,

𝜎
^
𝐵
2
=
1
𝐵
−
1
∑
𝑏
=
1
𝐵
(
ℎ
(
𝑋
𝑏
)
−
𝜃
^
𝐵
)
2
σ
^
B
2
	​

=
B−1
1
	​

∑
b=1
B
	​

(h(X
b
	​

)−
θ
^
B
	​

)
2
 : variance empirique des tirages,
le facteur 
1
/
𝐵
1/
B
	​

 est essentiel : l'écart-type des réplications 
𝜎
^
𝐵
σ
^
B
	​

 n'est pas l'erreur-type de la moyenne,

1
,
96
=
𝑧
0
,
975
1,96=z
0,975
	​

, quantile d'ordre 
0
,
975
0,975 de 
𝑁
(
0
,
1
)
N(0,1).

Hypothèses

Hypothèse Contenu

TCL 
𝐵
(
𝜃
^
𝐵
−
𝜃
)
→
𝑑
𝑁
(
0
,
𝜎
2
)
B
	​

(
θ
^
B
	​

−θ)
d
	​

N(0,σ
2
) ; exige 
𝐸
[
ℎ
(
𝑋
)
2
]
<
∞
E[h(X)
2
]<∞
Variance finie Sans second moment fini (lois à queues lourdes), l'IC est invalide
Indépendance Tirages i.i.d. ; sinon (MCMC) remplacer 
𝜎
^
𝐵
/
𝐵
σ
^
B
	​

/
B
	​

 par une erreur-type tenant compte de l'autocorrélation (variance asymptotique / taille d'échantillon effective 
𝐵
eff
B
eff
	​

)
Symétrie L'IC est symétrique ; mauvaise couverture si la loi de 
𝜃
^
𝐵
θ
^
B
	​

 est fortement asymétrique ou 
𝐵
B petit

Cas particulier fréquent

Estimation d'une probabilité 
𝑝
p (proportion de succès 
𝑝
^
p
^
	​

) :

𝑝
^
±
1
,
96
𝑝
^
(
1
−
𝑝
^
)
𝐵
p
^
	​

±1,96
B
p
^
	​

(1−
p
^
	​

)
	​

	​


à éviter pour 
𝑝
^
p
^
	​

 proche de 
0
0 ou 
1
1 (préférer Wilson ou Clopper–Pearson).

Variantes

IC percentile : quantiles empiriques 
2
,
5
%
2,5% et 
97
,
5
%
97,5% des réplications (utile en bootstrap, loi asymétrique).
IC BCa : correction du biais et de l'asymétrie (Efron & Tibshirani, 1993).