Un nombre de condition relatif est une mesure, en analyse numérique, de la sensibilité de la solution d'un problème à des perturbations relatives des données d'entrée.

Définition formelle
Soit un problème défini par une fonction 
𝑓
f qui associe à une donnée d'entrée 
𝑥
x une solution 
𝑦
=
𝑓
(
𝑥
)
y=f(x). Le nombre de condition relatif 
𝜅
rel
κ
rel
	​

 est le rapport des perturbations relatives de la sortie et de l'entrée, dans la limite des petites perturbations :

𝜅
rel
=
lim
⁡
𝛿
→
0
 
sup
⁡
 
𝛿
𝑥
 
≤
𝛿
 
𝑥
 
 
𝛿
𝑦
 
/
 
𝑦
 
 
𝛿
𝑥
 
/
 
𝑥
 
κ
rel
	​

=
δ→0
lim
	​

 
 δx ≤δ x 
sup
	​

 δx / x 
 δy / y 
	​


où :

𝛿
𝑥
δx est une perturbation de 
𝑥
x,

𝛿
𝑦
=
𝑓
(
𝑥
+
𝛿
𝑥
)
−
𝑓
(
𝑥
)
δy=f(x+δx)−f(x) est la perturbation induite sur la solution 
𝑦
y,

 
⋅
 
 ⋅  désigne une norme appropriée (par exemple la norme euclidienne pour les vecteurs).

Si 
𝑓
f est différentiable en 
𝑥
x, cela se réduit à

𝜅
rel
=
 
𝐽
𝑓
(
𝑥
)
 
 
𝑥
 
 
𝑓
(
𝑥
)
 
,
κ
rel
	​

=
 f(x) 
 J
f
	​

(x)  x 
	​

,

soit, dans le cas scalaire, 
𝜅
rel
=
𝑥
𝑓
′
(
𝑥
)
𝑓
(
𝑥
)
κ
rel
	​

=
f(x)
xf
′
(x)
	​

.

Interprétation
Si 
𝜅
rel
≫
1
κ
rel
	​

≫1, le problème est mal conditionné : une petite perturbation relative sur 
𝑥
x peut entraîner une grande perturbation relative sur 
𝑦
y.
Si 
𝜅
rel
≈
1
κ
rel
	​

≈1, le problème est bien conditionné : les perturbations relatives sont comparables en entrée et en sortie.

Exemple classique
Pour un système linéaire 
𝐴
𝑥
=
𝑏
Ax=b, où 
𝐴
A est une matrice inversible, le conditionnement relatif de la solution vis-à-vis des données est majoré par

𝜅
(
𝐴
)
=
 
𝐴
 
⋅
 
𝐴
−
1
 
κ(A)= A ⋅ A
−1
 

où 
 
𝐴
 
 A  est une norme matricielle subordonnée (par exemple la norme spectrale). Ce nombre est appelé nombre de condition de la matrice 
𝐴
A.

Remarque
Le nombre de condition relatif est sans dimension et dépend du choix des normes. Il caractérise le problème lui-même (et non l'algorithme), et se combine à la stabilité de l'algorithme pour estimer l'erreur finale.