Soit 
𝑓
(
𝑥
)
=
𝛼
𝑥
+
𝛽
f(x)=αx+β et 
𝑚
=
𝑎
+
𝑏
2
m=
2
a+b
	​

. Alors

\[
\int_a^b f(x)\,dx
=\frac{\alpha}{2}(b^2-a^2)+\beta(b-a)
=(b-a)\left(\alpha\frac{a+b}{2}+\beta\right)
=(b-a)f(m).
\]

C’est exactement la valeur donnée par la règle du point milieu. Géométriquement, sur un intervalle symétrique autour de 
𝑚
m, les écarts à 
𝑓
(
𝑚
)
f(m) sont opposés de part et d’autre du milieu et se compensent. Ainsi, la règle est exacte pour toute fonction affine.