Question

Les prémisses 
𝑃
∨
𝑄
P∨Q, 
𝑃
→
𝑅
P→R, 
𝑄
→
𝑅
Q→R entraînent-elles 
𝑅
R ?

Réponse : oui. L'inférence est valide (c'est le schéma classique de l'élimination de la disjonction, ou « preuve par cas »).

Preuve par cas

On suppose les trois prémisses vraies. Par la prémisse 1, 
𝑃
∨
𝑄
P∨Q est vraie, donc au moins l'un des deux cas suivants se réalise.

Cas 1 : 
𝑃
P est vraie.
De 
𝑃
P et de 
𝑃
→
𝑅
P→R (prémisse 2), on obtient 
𝑅
R par modus ponens.

Cas 2 : 
𝑄
Q est vraie.
De 
𝑄
Q et de 
𝑄
→
𝑅
Q→R (prémisse 3), on obtient 
𝑅
R par modus ponens.

Ces deux cas épuisent les possibilités ouvertes par 
𝑃
∨
𝑄
P∨Q (le cas « 
𝑃
P et 
𝑄
Q toutes deux vraies » relève indifféremment du cas 1 ou du cas 2 ; le cas « ni 
𝑃
P ni 
𝑄
Q » est exclu par la prémisse 1). Dans chacun d'eux on conclut 
𝑅
R. Donc 
𝑅
R suit des prémisses :

𝑃
∨
𝑄
,
𝑃
→
𝑅
,
𝑄
→
𝑅
⊨
𝑅
P∨Q,P→R,Q→R⊨R

Vérification par table de vérité

La validité exige que 
𝑅
R soit vraie dans toute ligne où les trois prémisses sont simultanément vraies. Il faut donc faire varier les trois variables 
𝑃
,
𝑄
,
𝑅
P,Q,R :

𝑃
P 
𝑄
Q 
𝑅
R 
𝑃
∨
𝑄
P∨Q 
𝑃
→
𝑅
P→R 
𝑄
→
𝑅
Q→R Prémisses toutes vraies ? 
𝑅
R

V V V V V V oui V
V V F V F F non —
V F V V V V oui V
V F F V F V non —
F V V V V V oui V
F V F V V F non —
F F V F V V non —
F F F F V V non —

Les trois seules lignes où les prémisses sont toutes vraies (1, 3, 5) donnent 
𝑅
=
R= V : aucun contre-modèle n'existe.

Remarque

La conclusion vaut aussi bien pour le « ou » inclusif que pour le « ou » exclusif, puisque la preuve n'utilise que le fait qu'au moins un des deux disjoints est vrai. La forme conditionnelle correspondante, 
(
(
𝑃
∨
𝑄
)
∧
(
𝑃
→
𝑅
)
∧
(
𝑄
→
𝑅
)
)
→
𝑅
((P∨Q)∧(P→R)∧(Q→R))→R, est une tautologie.