Pour nier la formule universelle 
∀
𝑥
(
𝑃
(
𝑥
)
∨
𝑄
(
𝑥
)
)
∀x(P(x)∨Q(x)), nous appliquons les règles de négation de la logique des prédicats, étape par étape.

Étape 1 : Négation de la quantification universelle
La négation d'une quantification universelle 
∀
𝑥
𝜙
(
𝑥
)
∀xϕ(x) est une quantification existentielle 
∃
𝑥
¬
𝜙
(
𝑥
)
∃x¬ϕ(x). Ainsi :

¬
∀
𝑥
(
𝑃
(
𝑥
)
∨
𝑄
(
𝑥
)
)
≡
∃
𝑥
¬
(
𝑃
(
𝑥
)
∨
𝑄
(
𝑥
)
)
.
¬∀x(P(x)∨Q(x))≡∃x¬(P(x)∨Q(x)).

Étape 2 : Négation de la disjonction
La négation d'une disjonction 
𝑃
(
𝑥
)
∨
𝑄
(
𝑥
)
P(x)∨Q(x) est une conjonction de négations, selon la loi de De Morgan :

¬
(
𝑃
(
𝑥
)
∨
𝑄
(
𝑥
)
)
≡
¬
𝑃
(
𝑥
)
∧
¬
𝑄
(
𝑥
)
.
¬(P(x)∨Q(x))≡¬P(x)∧¬Q(x).

Étape 3 : Combinaison des résultats
En combinant les deux étapes, nous obtenons :

¬
∀
𝑥
(
𝑃
(
𝑥
)
∨
𝑄
(
𝑥
)
)
≡
∃
𝑥
(
¬
𝑃
(
𝑥
)
∧
¬
𝑄
(
𝑥
)
)
.
¬∀x(P(x)∨Q(x))≡∃x(¬P(x)∧¬Q(x)).

Résultat final
La négation de 
∀
𝑥
(
𝑃
(
𝑥
)
∨
𝑄
(
𝑥
)
)
∀x(P(x)∨Q(x)) est donc :

∃
𝑥
(
¬
𝑃
(
𝑥
)
∧
¬
𝑄
(
𝑥
)
)
.
∃x(¬P(x)∧¬Q(x)).