Pour trouver le coefficient de 
𝑥
3
x
3
 dans le développement de 
(
1
+
2
𝑥
)
5
(1+2x)
5
, nous utilisons la formule du binôme de Newton :

\[
(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^{k}
\]

Ici, 
𝑎
=
1
a=1, 
𝑏
=
2
𝑥
b=2x et 
𝑛
=
5
n=5. Le terme général du développement est donc :

\[
\binom{5}{k} \cdot 1^{5-k} \cdot (2x)^k = \binom{5}{k} \cdot 2^k \cdot x^k
\]

Nous cherchons le coefficient de 
𝑥
3
x
3
, ce qui correspond à 
𝑘
=
3
k=3 :

\[
\binom{5}{3} \cdot 2^3 = 10 \cdot 8 = 80
\]

Le coefficient de 
𝑥
3
x
3
 est donc 80.