Données

Pièce équilibrée : 
𝑝
=
1
2
p=
2
1
	​

 pour « face » à chaque lancer, lancers indépendants.
Nombre de lancers : 
𝑛
=
7
n=7, nombre de faces visé : 
𝑘
=
4
k=4.

Raisonnement chiffré

Le nombre de faces suit une loi binomiale 
𝑋
∼
𝐵
(
7
,
1
2
)
X∼B(7,
2
1
	​

) :

𝑃
(
𝑋
=
𝑘
)
=
(
𝑛
𝑘
)
𝑝
𝑘
(
1
−
𝑝
)
𝑛
−
𝑘
=
(
7
4
)
(
1
2
)
4
(
1
2
)
3
=
(
7
4
)
2
7
P(X=k)=(
k
n
	​

)p
k
(1−p)
n−k
=(
4
7
	​

)(
2
1
	​

)
4
(
2
1
	​

)
3
=
2
7
(
4
7
	​

)
	​


(
7
4
)
=
7
!
4
!
3
!
=
5040
24
×
6
=
35
(
4
7
	​

)=
4!3!
7!
	​

=
24×6
5040
	​

=35

2
7
=
128
2
7
=128

𝑃
(
𝑋
=
4
)
=
35
128
P(X=4)=
128
35
	​


Calcul vérifié avec le laboratoire local (sympy) : 
(
7
4
)
=
35
(
4
7
	​

)=35, 
2
7
=
128
2
7
=128, quotient 
=
35
/
128
≈
0
,
2734375
=35/128≈0,2734375.

Résultat final

𝑃
(
𝑋
=
4
)
=
35
128
≈
0
,
2734
  
(
≈
27
,
34
 
%
)
P(X=4)=
128
35
	​

≈0,2734  (≈27,34 %)
	​


Hypothèses

Pièce parfaitement équilibrée et lancers mutuellement indépendants (modèle binomiale standard, tel qu'énoncé).
« 4 faces » est interprété comme exactement 4 faces sur 7 (et non « au moins 4 »). Pour comparaison, si l'on voulait « au moins 4 faces », la réponse serait 
35
+
21
+
7
+
1
128
=
64
128
=
1
2
128
35+21+7+1
	​

=
128
64
	​

=
2
1
	​

 par symétrie.