Pour résoudre l'équation différentielle 
𝑦
⋅
𝑑
𝑦
𝑑
𝑥
=
𝑥
y⋅
dx
dy
	​

=x avec la condition initiale 
𝑦
(
0
)
=
2
y(0)=2, suivons les étapes suivantes :

Réécriture de l'équation

L'équation donnée est :
\[
y \cdot \frac{dy}{dx} = x
\]
On peut la réécrire sous forme différentielle :
\[
y \, dy = x \, dx
\]

Intégration des deux côtés

Intégrons les deux côtés :
\[
\int y \, dy = \int x \, dx
\]
Les intégrales sont :
\[
\frac{y^2}{2} = \frac{x^2}{2} + C
\]
où 
𝐶
C est la constante d'intégration.

Résolution pour 
𝑦
y

Multiplions les deux côtés par 2 pour simplifier :
\[
y^2 = x^2 + 2C
\]
Posons 
2
𝐶
=
𝐶
′
2C=C
′
 (où 
𝐶
′
C
′
 est une nouvelle constante) :
\[
y^2 = x^2 + C'
\]

Application de la condition initiale

La condition initiale est 
𝑦
(
0
)
=
2
y(0)=2. Substituons 
𝑥
=
0
x=0 et 
𝑦
=
2
y=2 dans l'équation :
\[
2^2 = 0^2 + C' \implies 4 = C'
\]
Ainsi, l'équation devient :
\[
y^2 = x^2 + 4
\]

Résolution finale pour 
𝑦
y

Prenons la racine carrée des deux côtés :
\[
y = \pm \sqrt{x^2 + 4}
\]

La condition initiale 
𝑦
(
0
)
=
2
y(0)=2 implique que la branche positive est compatible, car 
𝑦
(
0
)
=
0
+
4
=
2
y(0)=
0+4
	​

=2. La branche négative donnerait 
𝑦
(
0
)
=
−
2
y(0)=−2, ce qui ne correspond pas à la condition initiale.

Solution finale
La solution est donc :
\[
y = \sqrt{x^2 + 4}
\]