Pour résoudre l'équation différentielle 
𝑦
′
=
𝑦
(
3
−
𝑦
)
y
′
=y(3−y), nous allons suivre ces étapes :

Équilibres

Les équilibres sont les valeurs de 
𝑦
y pour lesquelles 
𝑦
′
=
0
y
′
=0. Résolvons donc :
\[
y(3 - y) = 0
\]
Cela donne deux solutions :
\[
y = 0 \quad \text{ou} \quad y = 3
\]
Les équilibres sont donc 
𝑦
=
0
y=0 et 
𝑦
=
3
y=3.

Stabilité des équilibres

Pour déterminer la stabilité des équilibres, analysons le signe de 
𝑦
′
=
𝑦
(
3
−
𝑦
)
y
′
=y(3−y) autour de chaque équilibre.

a) Équilibre 
𝑦
=
0
y=0
Pour 
𝑦
y légèrement inférieur à 0 (par exemple 
𝑦
=
−
0
,
1
y=−0,1) :

𝑦
′
=
(
−
0
,
1
)
(
3
−
(
−
0
,
1
)
)
=
(
−
0
,
1
)
(
3
,
1
)
=
−
0
,
31
y
′
=(−0,1)(3−(−0,1))=(−0,1)(3,1)=−0,31 (négatif).
Pour 
𝑦
y légèrement supérieur à 0 (par exemple 
𝑦
=
0
,
1
y=0,1) :

𝑦
′
=
(
0
,
1
)
(
3
−
0
,
1
)
=
(
0
,
1
)
(
2
,
9
)
=
0
,
29
y
′
=(0,1)(3−0,1)=(0,1)(2,9)=0,29 (positif).

Interprétation :
Si 
𝑦
y est légèrement inférieur à 0, 
𝑦
′
y
′
 est négatif, donc 
𝑦
y diminue.
Si 
𝑦
y est légèrement supérieur à 0, 
𝑦
′
y
′
 est positif, donc 
𝑦
y augmente.
Conclusion : L'équilibre 
𝑦
=
0
y=0 est instable.

b) Équilibre 
𝑦
=
3
y=3
Pour 
𝑦
y légèrement inférieur à 3 (par exemple 
𝑦
=
2
,
9
y=2,9) :

𝑦
′
=
(
2
,
9
)
(
3
−
2
,
9
)
=
(
2
,
9
)
(
0
,
1
)
=
0
,
29
y
′
=(2,9)(3−2,9)=(2,9)(0,1)=0,29 (positif).
Pour 
𝑦
y légèrement supérieur à 3 (par exemple 
𝑦
=
3
,
1
y=3,1) :

𝑦
′
=
(
3
,
1
)
(
3
−
3
,
1
)
=
(
3
,
1
)
(
−
0
,
1
)
=
−
0
,
31
y
′
=(3,1)(3−3,1)=(3,1)(−0,1)=−0,31 (négatif).

Interprétation :
Si 
𝑦
y est légèrement inférieur à 3, 
𝑦
′
y
′
 est positif, donc 
𝑦
y augmente vers 3.
Si 
𝑦
y est légèrement supérieur à 3, 
𝑦
′
y
′
 est négatif, donc 
𝑦
y diminue vers 3.
Conclusion : L'équilibre 
𝑦
=
3
y=3 est stable.

Résumé

Équilibre Stabilité

𝑦
=
0
y=0 Instable

𝑦
=
3
y=3 Stable