Pour résoudre l'équation différentielle 
𝑦
′
=
2
𝑦
y
′
=2y avec la condition initiale 
𝑦
(
0
)
=
1
y(0)=1 en utilisant la méthode d'Euler avec un pas 
ℎ
=
0
,
25
h=0,25, nous procédons comme suit :

Étape 1 : Calcul de 
𝑦
1
y
1
	​


La méthode d'Euler donne la formule de récurrence :
\[
y_{n+1} = y_n + h \cdot f(t_n, y_n)
\]
où 
𝑓
(
𝑡
,
𝑦
)
=
2
𝑦
f(t,y)=2y.

Pour 
𝑛
=
0
n=0 :
\[
t_0 = 0, \quad y_0 = 1
\]
\[
f(t_0, y_0) = 2 \cdot y_0 = 2 \cdot 1 = 2
\]
\[
y_1 = y_0 + h \cdot f(t_0, y_0) = 1 + 0{,}25 \cdot 2 = 1 + 0{,}5 = 1{,}5
\]

Étape 2 : Calcul de 
𝑦
2
y
2
	​


Pour 
𝑛
=
1
n=1 :
\[
t_1 = t_0 + h = 0 + 0{,}25 = 0{,}25, \quad y_1 = 1{,}5
\]
\[
f(t_1, y_1) = 2 \cdot y_1 = 2 \cdot 1{,}5 = 3
\]
\[
y_2 = y_1 + h \cdot f(t_1, y_1) = 1{,}5 + 0{,}25 \cdot 3 = 1{,}5 + 0{,}75 = 2{,}25
\]

Résultat final
\[
y_1 = 1{,}5, \quad y_2 = 2{,}25
\]