Pour résoudre l'équation différentielle du second ordre suivante avec les conditions initiales données :

𝑦
′
′
+
9
𝑦
=
0
avec
𝑦
(
0
)
=
2
et
𝑦
′
(
0
)
=
0
,
y
′′
+9y=0avecy(0)=2ety
′
(0)=0,

nous suivons ces étapes :

Résolution de l'équation différentielle

L'équation est linéaire, homogène et à coefficients constants. Nous cherchons une solution de la forme 
𝑦
(
𝑥
)
=
𝑒
𝑟
𝑥
y(x)=e
rx
.

a) Équation caractéristique
En substituant 
𝑦
(
𝑥
)
=
𝑒
𝑟
𝑥
y(x)=e
rx
 dans l'équation, nous obtenons l'équation caractéristique :

𝑟
2
+
9
=
0.
r
2
+9=0.

Les racines de cette équation sont :

𝑟
=
±
3
𝑖
.
r=±3i.

b) Solution générale
Les racines sont complexes : 
𝑟
=
3
𝑖
r=3i et 
𝑟
=
−
3
𝑖
r=−3i. La solution générale de l'équation différentielle est donc :

𝑦
(
𝑥
)
=
𝐴
cos
⁡
(
3
𝑥
)
+
𝐵
sin
⁡
(
3
𝑥
)
,
y(x)=Acos(3x)+Bsin(3x),

où 
𝐴
A et 
𝐵
B sont des constantes à déterminer.

Application des conditions initiales

Nous utilisons les conditions initiales pour déterminer 
𝐴
A et 
𝐵
B.

a) Condition 
𝑦
(
0
)
=
2
y(0)=2
En substituant 
𝑥
=
0
x=0 dans la solution générale :

𝑦
(
0
)
=
𝐴
cos
⁡
(
0
)
+
𝐵
sin
⁡
(
0
)
=
𝐴
=
2.
y(0)=Acos(0)+Bsin(0)=A=2.

Donc, 
𝐴
=
2
A=2.

b) Condition 
𝑦
′
(
0
)
=
0
y
′
(0)=0
Calculons d'abord la dérivée de 
𝑦
(
𝑥
)
y(x) :

𝑦
′
(
𝑥
)
=
−
3
𝐴
sin
⁡
(
3
𝑥
)
+
3
𝐵
cos
⁡
(
3
𝑥
)
.
y
′
(x)=−3Asin(3x)+3Bcos(3x).

En substituant 
𝑥
=
0
x=0 :

𝑦
′
(
0
)
=
−
3
𝐴
sin
⁡
(
0
)
+
3
𝐵
cos
⁡
(
0
)
=
3
𝐵
=
0.
y
′
(0)=−3Asin(0)+3Bcos(0)=3B=0.

Donc, 
𝐵
=
0
B=0.

Solution finale

En remplaçant 
𝐴
A et 
𝐵
B par leurs valeurs, la solution est :

𝑦
(
𝑥
)
=
2
cos
⁡
(
3
𝑥
)
.
y(x)=2cos(3x).

Vérification
Pour confirmer, calculons 
𝑦
′
′
(
𝑥
)
y
′′
(x) :

𝑦
′
(
𝑥
)
=
−
6
sin
⁡
(
3
𝑥
)
,
y
′
(x)=−6sin(3x),


𝑦
′
′
(
𝑥
)
=
−
18
cos
⁡
(
3
𝑥
)
.
y
′′
(x)=−18cos(3x).

En substituant dans l'équation différentielle :

𝑦
′
′
(
𝑥
)
+
9
𝑦
(
𝑥
)
=
−
18
cos
⁡
(
3
𝑥
)
+
9
×
2
cos
⁡
(
3
𝑥
)
=
0.
y
′′
(x)+9y(x)=−18cos(3x)+9×2cos(3x)=0.

Les conditions initiales sont également satisfaites :

𝑦
(
0
)
=
2
cos
⁡
(
0
)
=
2
,
y(0)=2cos(0)=2,


𝑦
′
(
0
)
=
−
6
sin
⁡
(
0
)
=
0.
y
′
(0)=−6sin(0)=0.

Réponse finale
La solution de l'équation différentielle est :

𝑦
(
𝑥
)
=
2
cos
⁡
(
3
𝑥
)
.
y(x)=2cos(3x).