Pour résoudre l'équation différentielle linéaire du premier ordre suivante avec condition initiale :

𝑦
′
+
2
𝑦
=
6
y
′
+2y=6


𝑦
(
0
)
=
1
y(0)=1

Équation différentielle linéaire

Cette équation est de la forme :

𝑦
′
+
𝑎
(
𝑥
)
𝑦
=
𝑏
(
𝑥
)
y
′
+a(x)y=b(x)

où 
𝑎
(
𝑥
)
=
2
a(x)=2 et 
𝑏
(
𝑥
)
=
6
b(x)=6.

Résolution par la méthode du facteur intégrant

Le facteur intégrant 
𝜇
(
𝑥
)
μ(x) est donné par :

𝜇
(
𝑥
)
=
𝑒
∫
𝑎
(
𝑥
)
𝑑
𝑥
=
𝑒
∫
2
𝑑
𝑥
=
𝑒
2
𝑥
μ(x)=e
∫a(x)dx
=e
∫2dx
=e
2x

Multiplication par le facteur intégrant

Multiplions les deux côtés de l'équation par 
𝜇
(
𝑥
)
μ(x) :

𝑒
2
𝑥
𝑦
′
+
2
𝑒
2
𝑥
𝑦
=
6
𝑒
2
𝑥
e
2x
y
′
+2e
2x
y=6e
2x

Le côté gauche est la dérivée de 
𝑦
𝑒
2
𝑥
ye
2x
 :

𝑑
𝑑
𝑥
(
𝑦
𝑒
2
𝑥
)
=
6
𝑒
2
𝑥
dx
d
	​

(ye
2x
)=6e
2x

Intégration des deux côtés

Intégrons les deux côtés par rapport à 
𝑥
x :

𝑦
𝑒
2
𝑥
=
∫
6
𝑒
2
𝑥
𝑑
𝑥
ye
2x
=∫6e
2x
dx


𝑦
𝑒
2
𝑥
=
3
𝑒
2
𝑥
+
𝐶
ye
2x
=3e
2x
+C

où 
𝐶
C est la constante d'intégration.

Résolution pour 
𝑦
y

Divisons par 
𝑒
2
𝑥
e
2x
 :

𝑦
=
3
+
𝐶
𝑒
−
2
𝑥
y=3+Ce
−2x

Application de la condition initiale

Utilisons 
𝑦
(
0
)
=
1
y(0)=1 pour trouver 
𝐶
C :

1
=
3
+
𝐶
𝑒
0
1=3+Ce
0


1
=
3
+
𝐶
1=3+C


𝐶
=
−
2
C=−2

Solution finale

La solution de l'équation différentielle est donc :

𝑦
(
𝑥
)
=
3
−
2
𝑒
−
2
𝑥
y(x)=3−2e
−2x