Pour résoudre l'équation différentielle 
𝑦
′
=
4
𝑦
y
′
=4y avec la condition initiale 
𝑦
(
0
)
=
1
2
y(0)=
2
1
	​

, suivons les étapes suivantes :

Résolution de l'équation différentielle

L'équation 
𝑦
′
=
4
𝑦
y
′
=4y est une équation différentielle linéaire du premier ordre. Elle est de la forme :
\[
\frac{dy}{dt} = ky
\]
où 
𝑘
=
4
k=4.

La solution générale de cette équation est donnée par :
\[
y(t) = Ce^{kt}
\]
où 
𝐶
C est une constante à déterminer.

En remplaçant 
𝑘
=
4
k=4, la solution générale devient :
\[
y(t) = Ce^{4t}
\]

Application de la condition initiale

La condition initiale est 
𝑦
(
0
)
=
1
2
y(0)=
2
1
	​

. En substituant 
𝑡
=
0
t=0 dans la solution générale :
\[
y(0) = Ce^{4 \cdot 0} = C = \frac{1}{2}
\]
Ainsi, la constante 
𝐶
C vaut 
1
2
2
1
	​

.

Solution finale

En remplaçant 
𝐶
C par 
1
2
2
1
	​

, la solution de l'équation différentielle est :
\[
y(t) = \frac{1}{2} e^{4t}
\]