Pour calculer le développement de Taylor de la fonction 
cos
⁡
(
𝑥
)
cos(x) autour de 0 jusqu'au degré 4, nous utilisons la formule générale du développement de Taylor :

\[
f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4 + \cdots
\]

Étapes de calcul :

Calcul des dérivées successives de 
cos
⁡
(
𝑥
)
cos(x) :

𝑓
(
𝑥
)
=
cos
⁡
(
𝑥
)
f(x)=cos(x)

𝑓
′
(
𝑥
)
=
−
sin
⁡
(
𝑥
)
f
′
(x)=−sin(x)

𝑓
′
′
(
𝑥
)
=
−
cos
⁡
(
𝑥
)
f
′′
(x)=−cos(x)

𝑓
′
′
′
(
𝑥
)
=
sin
⁡
(
𝑥
)
f
′′′
(x)=sin(x)

𝑓
(
4
)
(
𝑥
)
=
cos
⁡
(
𝑥
)
f
(4)
(x)=cos(x)

Évaluation des dérivées en 
𝑥
=
0
x=0 :

𝑓
(
0
)
=
cos
⁡
(
0
)
=
1
f(0)=cos(0)=1

𝑓
′
(
0
)
=
−
sin
⁡
(
0
)
=
0
f
′
(0)=−sin(0)=0

𝑓
′
′
(
0
)
=
−
cos
⁡
(
0
)
=
−
1
f
′′
(0)=−cos(0)=−1

𝑓
′
′
′
(
0
)
=
sin
⁡
(
0
)
=
0
f
′′′
(0)=sin(0)=0

𝑓
(
4
)
(
0
)
=
cos
⁡
(
0
)
=
1
f
(4)
(0)=cos(0)=1

Substitution dans la formule de Taylor :

\[
\cos(x) \approx 1 + \frac{0}{1!}x + \frac{-1}{2!}x^2 + \frac{0}{3!}x^3 + \frac{1}{4!}x^4
\]
Simplifiant, on obtient :
\[
\cos(x) \approx 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}
\]

Résultat final :
\[
\boxed{1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}}
\]