Pour dériver la fonction 
cos
⁡
(
4
𝑥
)
cos(4x), on utilise la règle de dérivation des fonctions composées (règle de la chaîne). Voici les étapes détaillées :

Fonction initiale : 
𝑓
(
𝑥
)
=
cos
⁡
(
4
𝑥
)
f(x)=cos(4x).
Fonction externe : 
cos
⁡
(
𝑢
)
cos(u), où 
𝑢
=
4
𝑥
u=4x.
Dérivée de la fonction externe : 
𝑑
𝑑
𝑢
cos
⁡
(
𝑢
)
=
−
sin
⁡
(
𝑢
)
du
d
	​

cos(u)=−sin(u).
Dérivée de la fonction interne : 
𝑑
𝑑
𝑥
(
4
𝑥
)
=
4
dx
d
	​

(4x)=4.

En appliquant la règle de la chaîne :
\[
\frac{d}{dx} \cos(4x) = -\sin(4x) \cdot \frac{d}{dx}(4x) = -\sin(4x) \cdot 4
\]

Résultat final :
\[
\boxed{-4\sin(4x)}
\]