Pour dériver la fonction 
𝑓
(
𝑥
)
=
𝑥
2
ln
⁡
(
𝑥
)
f(x)=x
2
ln(x) sur 
𝑥
>
0
x>0, nous utilisons la règle de dérivation d'un produit de deux fonctions. Soient 
𝑢
(
𝑥
)
=
𝑥
2
u(x)=x
2
 et 
𝑣
(
𝑥
)
=
ln
⁡
(
𝑥
)
v(x)=ln(x). La dérivée d'un produit est donnée par :

\[
(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'
\]

Étape 1 : Calcul des dérivées de 
𝑢
u et 
𝑣
v

𝑢
(
𝑥
)
=
𝑥
2
u(x)=x
2
 donc 
𝑢
′
(
𝑥
)
=
2
𝑥
u
′
(x)=2x.

𝑣
(
𝑥
)
=
ln
⁡
(
𝑥
)
v(x)=ln(x) donc 
𝑣
′
(
𝑥
)
=
1
𝑥
v
′
(x)=
x
1
	​

.

Étape 2 : Application de la règle du produit
\[
f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) = 2x \cdot \ln(x) + x^2 \cdot \frac{1}{x}
\]

Étape 3 : Simplification
\[
f'(x) = 2x \ln(x) + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x \ln(x) + x
\]

Étape 4 : Factorisation
\[
f'(x) = x(2 \ln(x) + 1)
\]

Résultat final :
\[
\boxed{x(2 \ln(x) + 1)}
\]