Pour projeter orthogonalement le vecteur 
𝑢
=
(
4
,
2
)
u=(4,2) sur le vecteur 
𝑣
=
(
1
,
−
1
)
v=(1,−1), nous utilisons la formule de projection orthogonale :

\[
\text{proj}_{\mathbf{v}} \mathbf{u} = \left( \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}} \right) \mathbf{v}
\]

Étape 1 : Calcul du produit scalaire 
𝑢
⋅
𝑣
u⋅v
\[
\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = (4)(1) + (2)(-1) = 4 - 2 = 2
\]

Étape 2 : Calcul du produit scalaire 
𝑣
⋅
𝑣
v⋅v
\[
\mathbf{v} \cdot \mathbf{v} = (1)^2 + (-1)^2 = 1 + 1 = 2
\]

Étape 3 : Calcul du coefficient de projection
\[
\frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}} = \frac{2}{2} = 1
\]

Étape 4 : Calcul de la projection
\[
\text{proj}_{\mathbf{v}} \mathbf{u} = 1 \cdot \mathbf{v} = (1, -1)
\]

Résultat final
La projection orthogonale de 
𝑢
=
(
4
,
2
)
u=(4,2) sur 
𝑣
=
(
1
,
−
1
)
v=(1,−1) est le vecteur 
(
1
,
−
1
)
(1,−1).