Pour calculer la somme 
2
+
8
+
32
+
⋯
+
2
×
4
5
2+8+32+⋯+2×4
5
, analysons d'abord la structure de cette série.

Diagnostic
La série donnée est :

2
+
8
+
32
+
⋯
+
2
×
4
5
2+8+32+⋯+2×4
5

On observe que :
Le premier terme est 
2
2.
Le deuxième terme est 
8
8, soit 
2
×
4
1
2×4
1
.
Le troisième terme est 
32
32, soit 
2
×
4
2
2×4
2
.
Le dernier terme est 
2
×
4
5
2×4
5
.

Cette série est donc une série géométrique de la forme :

𝑆
=
2
×
4
0
+
2
×
4
1
+
2
×
4
2
+
⋯
+
2
×
4
5
S=2×4
0
+2×4
1
+2×4
2
+⋯+2×4
5

Calcul
La somme d'une série géométrique de la forme 
𝑎
×
𝑟
𝑛
a×r
n
 est donnée par :

𝑆
=
𝑎
×
𝑟
𝑛
+
1
−
1
𝑟
−
1
S=a×
r−1
r
n+1
−1
	​


Ici :

𝑎
=
2
a=2 (le premier terme),

𝑟
=
4
r=4 (la raison),

𝑛
=
5
n=5 (le dernier exposant).

Calculons la somme :
\[
S = 2 \times \frac{4^{6} - 1}{4 - 1} = 2 \times \frac{4096 - 1}{3} = 2 \times \frac{4095}{3} = 2 \times 1365 = 2730
\]

Résultat
La somme est 2730.