Pour calculer 
PGCD
(
5
72
−
1
,
5
42
−
1
)
PGCD(5
72
−1,5
42
−1), nous pouvons utiliser l'identité suivante pour le PGCD de deux nombres de la forme 
𝑎
𝑛
−
1
a
n
−1 et 
𝑎
𝑚
−
1
a
m
−1 :

\[
\text{PGCD}(a^n - 1, a^m - 1) = a^{\text{PGCD}(n, m)} - 1
\]

Étapes de résolution :

Identifier 
𝑎
a, 
𝑛
n et 
𝑚
m :

Ici, 
𝑎
=
5
a=5, 
𝑛
=
72
n=72 et 
𝑚
=
42
m=42.

Calculer 
PGCD
(
72
,
42
)
PGCD(72,42) :

Décomposons les deux nombres en facteurs premiers :

72
=
2
3
×
3
2
72=2
3
×3
2


42
=
2
×
3
×
7
42=2×3×7
Le PGCD est le produit des facteurs premiers communs avec les plus petits exposants :

PGCD
(
72
,
42
)
=
2
×
3
=
6
PGCD(72,42)=2×3=6.

Appliquer l'identité :

\[
\text{PGCD}(5^{72} - 1, 5^{42} - 1) = 5^{\text{PGCD}(72, 42)} - 1 = 5^6 - 1
\]

Calculer 
5
6
−
1
5
6
−1 :

\[
5^6 = 15\,625 \implies 5^6 - 1 = 15\,624
\]

Résultat final :
\[
\boxed{15624}
\]