Résultat

x = 67

Raisonnement chiffré

Les modules 
5
5, 
7
7, 
3
3 sont premiers entre eux deux à deux, donc le théorème des restes chinois garantit une solution unique modulo 
5
×
7
×
3
=
105
5×7×3=105.

Résolution par substitution :

𝑥
≡
2
(
m
o
d
5
)
⇒
𝑥
=
5
𝑘
+
2
x≡2(mod5)⇒x=5k+2
5
𝑘
+
2
≡
4
(
m
o
d
7
)
⇒
5
𝑘
≡
2
(
m
o
d
7
)
5k+2≡4(mod7)⇒5k≡2(mod7). Or 
5
−
1
≡
3
(
m
o
d
7
)
5
−1
≡3(mod7) (car 
5
×
3
=
15
≡
1
5×3=15≡1), donc 
𝑘
≡
3
×
2
=
6
(
m
o
d
7
)
k≡3×2=6(mod7), soit 
𝑘
=
7
𝑚
+
6
k=7m+6 et 
𝑥
=
35
𝑚
+
32
x=35m+32.
35
𝑚
+
32
≡
1
(
m
o
d
3
)
⇒
2
𝑚
+
2
≡
1
(
m
o
d
3
)
⇒
2
𝑚
≡
−
1
≡
2
(
m
o
d
3
)
⇒
𝑚
≡
1
(
m
o
d
3
)
35m+32≡1(mod3)⇒2m+2≡1(mod3)⇒2m≡−1≡2(mod3)⇒m≡1(mod3).

Avec 
𝑚
=
1
m=1 : 
𝑥
=
35
+
32
=
67
x=35+32=67.

Vérification

Congruence Calcul Reste Attendu

mod 5 
67
=
13
×
5
+
2
67=13×5+2 2 2
mod 7 
67
=
9
×
7
+
4
67=9×7+4 4 4
mod 3 
67
=
22
×
3
+
1
67=22×3+1 1 1

Confirmation par calcul exécuté (balayage exhaustif de 1 à 105 et théorème des restes chinois via sympy) : les deux méthodes donnent 67, avec période 105.

Solution générale : 
𝑥
≡
67
(
m
o
d
105
)
x≡67(mod105), soit 
𝑥
∈
{
67
,
172
,
277
,
…
}
x∈{67,172,277,…}. Le plus petit entier positif est 67.